【推荐1】教材呈现：如图是华师版八年级上册数学教材第94页的部分内容．
线段垂直平分线
我们已经知道线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是线段的对称轴．如图，直线MN是线段AB的垂直平分线，P是MN上任一点，连结PA、PB．将线段AB沿直线MN对折，我们发现PA与PB完全重合．由此即有：
线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等．
已知：如图，MN⊥AB，垂足为点C，AC＝BC，点P是直线MN上的任意一点求证：PA＝PB．
分析：图中有两个直角三角形APC和BPC，只要证明这两个三角形全等，便可证得PA＝PB．

（1）请根据教材中的分析，结合图①，写出“线段垂直平分线的性质定理”完整的证明过程；
（2）如图②，在△ABC中，直线l，m，n分别是边AB，BC，AC的垂直平分线．
求证：直线l、m、n交于一点；（请将下面的证明过程补充完整）
证明：设直线l，m相交于点O．
（3）如图③，在△ABC中，AB＝BC，边AB的垂直平分线交AC于点D，边BC的垂直平分线交AC于点E，若∠ABC＝120°，AC＝15，则DE的长为　 　．

【推荐3】如图1，四边形ABCD是矩形，AB=1，点E是线段BC上一动点（不与B、C重合），点F是线段BA延长线上一动点，连接DE、EF、DF，EF交AD于点G．设BE=x，AF=y，y与x之间的函数关系式如图2所示．
（1）y与x之间的函数关系式                  ，边BC的长为            ；
（2）求证：DE⊥DF；
（3）是否存在x的值，使的△DEG是等腰三角形？若存在，求出x的值；若不存在，说明理由．

【推荐1】如图， 中， ，垂足是D， 平分 ，交 于点E．在外有一点F，使 ．

(1)求证： ；
(2)在 上取一点M，使 ，连接 ，交 于点N，连接 ．求证： ．

【推荐2】人教版初中数学教科书八年级下册第53页设置了如下一个“思考”栏目：
思考
如图，矩形的对角线，相交于点O．我们观察，在中，是斜边上的中线，与有什么关系？

经过思考与探究，从而得到了直角三角形的一个性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
现在，我们一起来探究这条性质的证明过程：
如图1：在中，，是斜边上的中线．
求证：．
证明：延长至点E，使，连接，．
……

(1)请你根据以上提示，结合图形，写出完整的证明过程．
(2)定理应用：
如图2，中，，D为边上一点，于点E，连接，M为的中点，的延长线交于点F，连接，．
①与的数量关系是______．
②若是的平分线，且，则______°．

【推荐3】如图，在中，，以为直径作交于点D，交于点E，连接．

(1)求证：；
(2)连接，，当__________时，四边形为菱形；
(3)若，，则__________．

【推荐1】阅读下面材料：
小明遇到这样一个问题：如图1，在△ABC中，DE//BC，分别交AB，AC于点D，E，已知CD⊥BE，CD=3，BE=5，求BC+DE的值.
小明发现，过点E作EF//DC，交BC延长线于点F，构造△BEF，经过推理和计算能够使问题得到解决（如图2）.

(1)请回答：BC+DE的值为　　；
(2)参考小明思考的问题的方法，解决问题：如图3，□ABCD中，E是BC的中点，AE=9，BD=12，AD=10，求证：AE⊥BD.

【推荐2】如图，在中，E是延长线上一点，与交于点F。

(1)求证：．
(2)设和的面积分别为，若，求的值．

【推荐3】如图，在平行四边形中，对角线与相交于点O，点E、F分别是的中点，连接．

   

(1)求证：；
(2)延长至点G，使得，连接．如果，求证：四边形是矩形．