【推荐1】在平行四边形ABCD中，点E、F分别在边AB、BC上，DE、AF交于点M．
（1）如图1，E为AB的中点，AF⊥BC交BC于点F，过点E作EN⊥AF交AF于点N，，直接写出的值是　　；
（2）如图2，∠B＝90°，∠ADE＝∠BAF，求证：△AEM∽△AFB；
（3）如图3，∠B＝60°，AB＝AD，∠ADE＝∠BAF，求证：．

【推荐2】图①、图②、图③均为方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1．

【探究】在图①中，点A、B、C、D均为格点．证明：BD平分∠ABC．
【应用】在图②、图③中，点M、O、N均为格点．
（1）利用【探究】的方法，在图②、图③中分别找到一个格点P，使OP平分∠MON．要求：图②、图③中所画的图形不相同，保留画图痕迹．
（2）cos∠MOP的值为　 　．

【推荐3】在学完菱形后，某教学兴趣小组尝试利用手中的数学工具——三角板和圆规作出一个内角为60°的菱形，下面是他们探究过程中的讨论片段，请仔细阅读，并完成相应的任务．
小明：可以尝试利用含60°角的三角板和圆规作出菱形．如图①，将三角板ABC放置在图纸上、延长直角边BA，以点C为圆心、CA长为半径作弧，以点A为圆心、AC长为半径作弧，交BA的延长线于点E，交上弧于点D，连接CD，DE，则四边形ACDE即为所求作的菱形．
小华：我可以在不利用三角板的前提下，作出符合要求的菱形．如图②，作半圆O及其直径AB、分到以点OB为圆心、大于的长为半径作弧，两弧交于点MN，作直线MN交半径圆O于点C；以点C为圆心、OC长为半径作弧，交半圆O于点D，连接AD，CD，CO，则四边形AOCD即为所作的菱形．
任务：
(1)小明的做法中，判断四边形ACDE是菱形的依据可能是______（填序号）
①四条边都相等的四边形是菱形；②对角线互相垂直的四边形是菱形
③有一组邻边相等的平行四边形是菱形；④对角线互相垂直的平行四边形是菱形
(2)请证明小明作出的图形四边形ACDE是菱形．
(3)你认为小华作出的四边形AOCD是有一个角为60°的菱形吗？请判断并说理由．
(4)如图③，小齐利用含45°角的三角板ABC和圆规构造了菱形ABMN，已知点P是线段MC上的一个点，AB＝10，当时，请直接写出点P到直线MN的距离．

【推荐1】在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径是，A，B为⊙O外两点，AB＝2．给出如下定义：平移线段AB，使平移后的线段A′B′成为⊙O的弦（点A′，B′分别为点A，B的对应点），线段AA′长度的最小值成为线段AB到⊙O的“优距离”．

(1)如图1，⊙O中的弦P₁P₂、P₃P₄是由线段AB平移而得，这两条弦的位置关系是______；在点P₁，P₂，P₃，P₄中，连接点A与点______的线段长度等于线段AB到⊙O的“优距离”；
(2)若点A（0，7），B（2，5），线段AA′的长度是线段AB到⊙O的“优距离”，则点A′的坐标为_____；
(3)如图2，若A，B是直线y＝﹣x+6上两个动点，记线段AB到⊙O的“优距离”为d，则d的最小值是_____；请你在图2中画出d取得最小值时的示意图，并标记相应的字母．

【推荐1】如图1，在菱形ABCD中，，点E，F分别是AC，AB上的点，且，猜想：
　　
①的值是_______；
②直线DE与直线CF所成的角中较小的角的度数是_______．
（2）类比探究：如图2，将绕点A逆时针旋转，在旋转的过程中，（1）中结论是否成立，就图2的情形说明理由．
（3）拓展延伸：
在绕点A旋转的过程中，当三点共线时，请直接写出CF的长．

【推荐2】△ABC和△CDE是以点C为公共顶点的两个三角形．

（1）如图1，当AB＝AC，CD＝CE，∠BAC＝∠DCE＝90°时，连接BD，取BD的中点M，连接AM．探究AM、BE之间的数量关系，并证明你的结论；
（2）如图2，当AB＝AC，∠BAC＝120°，∠CDE＝60°，∠DCE＝90°时，连接BD，取BD的中点M，连接AM．探究AM、BE之间的关系，并证明你的结论．

【推荐3】如图，正方形的边长为分别是边上的动点，和交于点．
如图(1)，若为边的中点，， 求的长；
如图(2)，若点在上从向运动，点在．上从向运动．两点同时出发，同时到达各自终点，求在运动过程中，点运动的路径长：
如图(3)， 若分别是边上的中点，与交于点，求的正切值．

【推荐2】在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线交x轴的负半轴于点A交y轴的正半轴于点B，，点C在x轴的正半轴上，．

（1）如图1，求直线的解析式；
（2）如图2，点D在第四象限的直线上，于点E，，求点D的坐标；
（3）如图3，在（2）的条件下，点F在线段上，点G在线段上，射线交直线于点H，若，求点H的坐标．