【推荐1】在学习了轴对称知识之后，数学兴趣小组的同学们对课本习题进行了深入研究，请你跟随兴趣小组的同学，一起完成下列问题．
(1)【课本习题】如图①，△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC至E，使CE=CD．     求证：DB=DE
(2)【尝试变式】如图②，△ABC是等边三角形，D是AC边上任意一点，延长BC至E，使CE=AD．
求证：DB=DE．
(3)【拓展延伸】如图③，△ABC是等边三角形，D是AC延长线上任意一点，延长BC至E，使CE=AD请问DB与DE是否相等? 并证明你的结论．

【推荐2】如图，等腰中，，点D为上一点，连接．
(1)如图1，若，，且，求线段的长度；
   
(2)如图2，过点B作，交的延长线于点E，以为斜边作等腰直角三角形，过点G作交的延长线于点F，且，求证：；
   
(3)如图3，在（2）问的条件下，过点G作，垂足为H，交于点M，点N为延长线上一点，连接，若，，，求线段的长度．
   

【推荐3】在中，是的中点，以为腰向外作等腰直角，即 ，连接，交于点，连接．
如图1，若，求的度数．
   
在的条件下，写出与三条线段之间的等量关系，并说明理由．
若是钝角时，交延长线于，连接如图2所示：
   
①探究图2中的形状，并说明理由．
②若，求的面积．

【推荐1】如图，在下列方格纸中，的四个顶点都在格点上，每格代表1．

                              图1

图2

（1）在图1中，画出线段，使平分，其中E是格点．
（2）在图2中，画出线段，使，其中P是格点．

【推荐2】图①、图②、图③均为方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1．

【探究】在图①中，点A、B、C、D均为格点．证明：BD平分∠ABC．
【应用】在图②、图③中，点M、O、N均为格点．
（1）利用【探究】的方法，在图②、图③中分别找到一个格点P，使OP平分∠MON．要求：图②、图③中所画的图形不相同，保留画图痕迹．
（2）cos∠MOP的值为　 　．

【推荐3】如图，四边形是菱形，且，点是对角线上一点，，绕点逆时针旋转射线，旋转角度为，并交射线于点，连接，，，

（1）①当时，补全图形，并证明；

②当时，直接写出线段，，之间的关系；
（2）在平面上找到一点，使得对于任意的，总有，直接写出点的位置．
（3）选择下面任意一问回答即可（全卷最多不超过100分）

A．证明（1）②的结论．

B．根据（2）中找到的的位置，证明

【推荐2】如图①、②、③是两个半径都等于2的和，由重合状态沿水平方向运动到互相外切过程中的三个位置，和相交于A、两点，分别连接、、、和．
(1)如图②，当时，求两圆重叠部分图形的周长；
(2)设的度数为，两圆重叠部分图形的周长为，求关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
(3)在（2）中，当重叠部分图形的周长时，则线段所在的直线与有何位置关系？请说明理由．除此之外，它们是否还有其它的位置关系？如果有，请直接写出其它位置关系时的的取值范围．

【推荐1】【问题背景】：
如图1，在中，，，，点是斜边的中点，过点作交于点．
【实验探究】：
（1）数学活动课中，小明同学将图1中的绕点按顺时针方向旋转，如图2所示，得到结论：①______；②直线与所夹锐角的度数为______；
（2）若我们继续将绕点按顺时针方向旋转，旋转至如图3所示位置．请问探究（1）中的结论是否仍然成立？并说明理由．
【拓展延伸】：
（3）在以上探究中，当旋转至、、三点共线时，则的面积为______．

【推荐2】已知如图，在等腰梯形ABCD中， AD∥BC，AB=CD，AD=3，BC=9，，直线MN是梯形的对称轴，点P是线段MN上一个动点（不与M、N重合），射线BP交线段CD于点E，过点C作CF∥AB 交射线BP于点F．

（1）设，，试建立和之间的函数关系式，并求出定义域；
（2）联结PD，在点P运动过程中，如果和相似，求出PN的长．

【推荐3】【模型发现】如图 1，，求证：．
【深入探究】如图2，等边中，，是上的动点，连接，将绕着点逆时针旋转得到，连接，当点从运动到时，求点的运动路径长．
【应用拓展】如图3，等腰中，，于，是上的一点，连接，将绕着点逆时针旋转得到，交于点，连接，若，则的值为_______．