【推荐1】问题背景：
一次数学综合实践活动课上，小慧发现并证明了关于三角形角平分线的一个结论．如图1，已知是的角平分线，可证．小慧的证明思路是：如图2，过点C作，交的延长线于点E，构造相似三角形来证明．

(1)尝试证明：请参照小慧的思路，利用图2证明；
(2)基础训练：如图3，在中，，是边上一点．连接，将沿所在直线折叠，点恰好落在边上的点处．若，，则的长；
(3)拓展升华：如图4，中，，，平分，的中垂线交延长线于点，当 时，求的长．

【推荐2】如图，点E是△ABC的BC边上的一点，∠AEC＝∠AED，ED＝EC，∠D＝∠B，求证：AB＝AC．

【推荐3】如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，圆上的点A，B，C均在格点上，点D在上．

   

(1)的长为　　　　　　 ．
(2)点P在圆上，满足．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点P，并简要说明点P的位置是如何找到(不要求证明)

【推荐1】如图，矩形中，E为上一点，把沿翻折，点D恰好落在边上的点F处．
   
(1)求证：；
(2)若，，求的长．

【推荐2】在矩形中，，，．P为上一点，将沿直线翻折至的位置（点B落在点E处）．
   
(1)如图，当点E落在边上时，利用尺规作图，在图中作出（不写作法，保留作图痕迹）．
(2)在（1）的条件下，求的长．

【推荐3】如图，E为长方形ABCD的边AB上一点，将长方形沿CE折叠，使点B恰好落在ED上的点F处．
（1）求证：AE＝DF；
（2）若BE＝1，BC＝3，求CD的长．

【推荐1】【探究】：如图①，在矩形中，点是的中点，将沿翻折得到．连接、，交于点．求证：；
【应用】：如图②，在“探究”的条件下，连接并延长，交于点，若，．
①求证：；
②          ．
   

【推荐2】在学习矩形的过程中，小明遇到了一个问题：在矩形中，如何用直尺和圆规解决把矩形的一角沿着过点A的直线折叠得到折叠，使得的顶点E在边上，顶点F在边上，点E是点D的对应点．他的思路是：首先以A为圆心长为半径画弧交边于点E，连接，再作的角平分线交于点F，连接，然后用全等三角形的知识使问题得到解决．

(1)请根据小明的思路完成下面的作图（保留作图痕迹，不写结论）
(2)证明：
在和中，
∵以A为圆心长为半径画弧交边于点E，
∴              ①．
∵平分，
∴              ②．
又              ③，
∴                      （       ）④．
∴是符合要求的折叠三角形．

【推荐3】如图，矩形ABCD中，点E是CD边长的一点，△BCE沿BE折叠为△BFE，点F在AD上．
(1)求证：△ABF∽△DFE；
(2)若sin∠DFE＝，求tan∠FBE的值．

【推荐1】如图，已知直线交⊙O于A、B两点，是的半径，点C为上一点，且平分，过C作，垂足为D．

(1)求证：为的切线；
(2)若，的半径为10，求线段的长．

【推荐2】图1为放在水平地面上的落地式话筒架实物图，图2为其示意图，支撑杆垂直于地面，活动杆固定在支撑杆上的点E处．若，，，求活动杆端点D离地面的高度．（结果精确到，参考数据：，，）
   

【推荐3】如图，是的直径，点在弦的延长线上，过点作，与相切于点．
（1）求证：平分；
（2）若，求的长．