【推荐1】如图，在中，点是边的中点，连接并延长，交的延长线于点，连接、．

（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）请在图中用一把无刻度的直尺画出边的中点（保留画图痕迹，无需证明过程）；
（3）若，，，动点从点出发，以每秒个单位的速度沿向终点运动，设点运动的时间为秒．
①若点为直线上的一点，当运动时间为何值时，以、、、构成的四边形可以是菱形？
②在点运动过程中，直接写出点到四边形相邻两边距离相等时的值．

【推荐2】如图1，在△ABC中，BD、CE分别是边AC、AB上的中线，BD与CE相交于点O，M和N分别为OB、OC的中点，连接ED、EM、MN、ND．

（1）求的值；
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形DEMN是矩形？给出你的结论并证明．
（3）如图2，在△ABC中，BD、AF分别是边AC、BC上的中线，BD与AF相交于点O，若OA＝4，OC＝3，OB＝5，则△ABC的面积为　　（请直接写出结果）．

【推荐2】在中，，D是的中点，点F在边上，过点D作的垂线交直线与点E．

【特例感知】如图①，当点E与点C重合时，，请说明理由；
【提出问题】如图②，当点E与点C不重合时，还成立吗？
【解决问题】答：图②中的依然成立；
下面是针对点E在线段上的情形进行的一种证明，请你补充完整；
如图③，取中点M，连结．
，
,
点M是的中点，
.（______________）（填依据）
，M是EF的中点，
，
．
点C、E、D、F在以_______为直径的圆上，
________．
由（1）可知，，
．
【拓展应用】若，当的面积被的一条边平分时，的长为______．

【推荐3】综合与探究
问题解决

如图1，中，，过点C作于点D，小明把一个三角板的直角顶点放置在点D处，两条直角边分别交线段于点 E ，交线段于点 F，在三角板绕着点D旋转的过程中，若点E是的中点，则点F也是的中点吗？（注：可以用知识：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）
“阳光”小组的解答是：若点E是的中点，则点F也是 的中点．
理由如下：∵ 于点 D，．
∵点 E 是的中点，
．
，
．
是等边三角形．
，
．
．
又，．
．即若点E是的中点，则点F也是的中点．
反思交流
（1）“群星”小组认为在这个题中，可以去掉条件“”，其他条件不变（如图2），若点E是的中点，则点F也是 的中点．请你根据条件证明这个结论；
拓广探索
（2）去掉条件“”，其他条件不变旋转过程中，若（如图3），那么等式成立吗？请说明理由；
（3）去掉条件“”，其他条件不变．若点 E 是上任意一点（如图4），（2）中的结论还成立吗？请说明理由．

【推荐1】如图，四边形为菱形，，点E在直线上运动，为等边三角形连接．

（1）如图1，判断的形状是__________﹔
（2）如图2，（1）中的结论是否成立？若成立请写出证明过程；若不成立，请说明理由！
（3）如果，E为四等分点，直接写出的面积．

【推荐2】在菱形ABCD中，，E为对角线BD上一动点，连接AE．

(1)如图1，点F为DE的中点，连接AF，若，求的度数；
(2)如图2，是等边三角形，连接DM，H为DM的中点，连接AH，猜想线段AH与AE之间的数量关系，并证明．
(3)在（2）的条件下，N为AD的中点，连接AM，以AM为边作等边，连接PN，若，直接写出PN的最小值．

【推荐3】菱形中，，点F是边上的点，点Q是边上的点．

(1)如图1，若点F是的中点，连接并延长交的延长线于点P．若此时，连接．
①求证：；
②判定的形状，并说明理由．
(2)若菱形面积为20，将菱形沿翻折，点B的对应点为点E，交于点F．
①如图2，当点E落在边的延长线上时，连接，交于点R，交于点M，求的值．
②如图3，当，垂足为点F，连接，交于点N，求四边形的面积．

【推荐1】在等腰中，，直线垂直平分，交于点，点在直线上，且点与点关于点对称，连接．

(1)如图1，求证：四边形是菱形；
(2)如图1，当平分时，求菱形的周长；
(3)当四边形为正方形时，请在图2中画出符合题意的正方形，再连接，求的长．