【推荐1】如图，是的直径，点是劣弧的中点，是的切线交于点，交于点．
   
(1)求证：；
(2)若，，求的正切值．

【推荐2】如图，以线段为直径作，交射线于点C，平分交于点D，过点D作直线于点E，交的延长线于点F．连接并延长交于点M．

(1)求证：直线是的切线；
(2)求证：
(3)若，，求的长．

【推荐3】如图，AD是的直径，AB为的弦，，OE与AB的延长线交于点E，点C在OE上，满足．

(1)求证：BC是的切线：
(2)若，，求线段CE的长．

【推荐1】如图，在中，，以AC为直径的与AB边交于点D，
求证：DE是的切线；
若以点O、D、E、C为顶点的四边形是正方形，试判断的形状，并说明理由．

【推荐2】如图，在△ABC中，AC＝BC，以AB为直径的⊙O交AC边于点DD，点E在BC上，连结BD，DE，∠CDE＝∠ABD
（1）证明：DE是⊙O的切线；
（2）若BD＝24，sin∠CDE=，求圆⊙O的半径和AC的长．

【推荐3】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的角平分线AD交BC边于D，以AB上某一点O为圆心作⊙O，使⊙O经过点A和点D，与AB边的另一个交点为E．
（1）判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若⊙O的半径为6，∠B＝30°．求线段BD、BE与劣弧DE所围成的阴影部分的图形面积．

【推荐1】已知，矩形中，点在上，，将沿着折叠，点的对应点为，G在上．
   
(1)若是中点，求的值；
(2)若，求的度数．

【推荐2】梅涅劳斯定理
梅涅劳斯（）是古希腊数学家，他首先证明了梅涅劳斯定理，定理的内容是：如图（1），如果一条直线与的三边AB，BC，CA或它们的延长线交于F、D、E三点，那么一定有．
下面是利用相似三角形的有关知识证明该定理的部分过程：
证明：如图（2），过点A作，交DF的延长线于点G，则有．

任务：（1）请你将上述材料中的剩余的证明过程补充完整；
（2）如图（3），在中，，，点D为BC的中点，点F在AB上，且，CF与AD交于点E，则________．

【推荐3】某学校数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究：

【观察与猜想】
（1）如图1，在正方形中，点，分别是，上的两点，连接，，，猜想并计算的值；
【类比探究】
（2）如图2，在矩形中，，点是上的一点，连接，且，求的值；
【类比证明】
（3）如图3，在四边形中，，点为上一点，连接，过点作的垂线交的延长线于点，交的延长线于点，求证：．

【推荐1】如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O，分别交AC、BC于点E，D．过点D作⊙O的切线，交AC于点H．
（1）求证：DH⊥AC；
（2）①若AB＝10，BC＝12，求AH的长；
②当∠BAC＝　 　时，四边形ODEA是平行四边形．

【推荐2】如图，已知是等边三角形，，点在上，，是的外角平分线，连接并延长与交于点．

(1)求的长；
(2)求的正切值．

【推荐3】如图，内接于，，．

(1)过点作的切线（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
(2)在（1）的条件下，若直线与切线所夹锐角为，求的半径．