【推荐1】如图，在中，是边上的中线，将绕点顺时针旋转，得到 如图，我们称为的“旋补三角形”， 的边上的中线叫做的“旋补中线”.
（1）在图，图，图中为的“旋补三角形”,是的“旋补中线”.
①如图,____
②如图，当为等边三角形时，与的数量关系为_______.
③如图，当时，时，则长为_______.
（2）在图中，当为任意三角形时，猜想与的关系，并给出证明．
（3）如图，在四边形中，,，，,,,为垂足，在线段上是否存在点，使是的“旋补三角形” 若存在，请作出点并给予证明；若不存在，请说明理由.

【推荐2】如图1，在△ABC中，∠A=120°，AB=AC，点P、Q同时从点B出发，以相同的速度分别沿折线B→A→C、射线BC运动，连接PQ．当点P到达点C时，点P、Q同时停止运动．设BQ=x，△BPQ与△ABC重叠部分的面积为S．如图2是S关于x的函数图象（其中0≤x≤8，8＜x≤m，m＜x≤16时，函数的解析式不同）．
（1）填空：m的值为         ；
（2）求S关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；
（3）请直接写出△PCQ为等腰三角形时x的值．

【推荐3】如图，在平面直角坐标系中，，轴，，双曲线经过点B，将绕点B逆时针旋转，使点O的对应点D在x轴的正半轴上．若的对应线段恰好经过点O．

(1)求双曲线的解析式．
(2)小彬通过观察图形得出一个结论：点C在双曲线上．请你证明这个结论的正确性．

【推荐1】如图，△ABC是边长为12cm的等边三角形，动点M、N同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC方向匀速移动．
（1）若点M的运动速度是2cm/s，点N的运动速度是4cm/s，当N到达点C时，M、N两点都停止运动，设运动时间为t（s），当t=2时，判断△BMN的形状，并说明理由；
（2）当它们的速度都是2cm/s，当点M到达点B时，M、N两点停止运动，设点M的运动时间为t（s），则当t为何值时，△MBN是直角三角形？

【推荐2】已知：如图，，，．

(1)求证：为等边三角形；
(2)求的度数．

【推荐3】在等腰中，，点是上一动点，点在的延长线上且，平分交于点，连接．

(1)如图，求证：；
(2)如图，当时，求证：；
(3)如图，当，且时，请直接写出和之间的数量关系：不用写证明过程．

【推荐1】如图，在矩形ABCD中，E，F分别是对角线AC上的两点，且AE=EF=FC，连接BE，DE，BF，DF．

（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；
（2）求证：CD²+3DE²是定值．

【推荐2】如图，E，F是四边形的对角线上两点，，，．

求证：（1）；
（2）四边形是平行四边形．

【推荐3】如图，在中，，是的角平分线，点O为中点，连接并延长到E，使，连接，．

(1)判断四边形的形状，并说明理由；
(2)当满足什么条件时，四边形是正方形？请说明理由．