【推荐1】在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线分别交y轴和x轴于点A、C两点，点B在x轴负半轴上，，连接AB．
   
(1)如图1，求直线AB的解析式；
(2)如图2，点D在线段AC上，点E在CB的延长线上，满足，连接DE交AB于点F，过点D作于点G，设点E的横坐标为t，的面积为S，求S与t的函数关系式（不要求写出自变量t的取值范围）；
(3)如图3，在（2）的条件下，DE交y轴于点M，过点A作交ED的延长线于点N，连接NC，若，求点NC的长．

【推荐2】如图，在正方形中，是直线上的一点，连接，过点作，交直线于点，连接．
（1）当点在线段上时，如图①，求证：；
（2）当点在直线上移动时，位置如图②、图③所示，线段，与之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不需证明．

【推荐3】如图，为⊙O直径，C为⊙O上一点，点D是的中点，于E，于F．

(1)求证：是⊙O的切线；
(2)若，求的长度．

【推荐1】如图，在□ABCD中，AB=4，AD=6，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE，垂足为G，BG=．

（1）求AE的长；   （2）求ΔCEF的周长和面积．

【推荐2】如图，在中，，的平分线交于点，过点作交于点．

(1)求证：直线是以点为圆心，为半径的的切线；
(2)如果：，，求的半径．

【推荐3】阅读下面材料：
小明遇到这样一个问题：如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A=60°，CD平分∠ACB，试判断BC和AC、AD之间的数量关系．小明发现，在BC上截取CA′＝CA，连接DA′，从而将问题解决（如图2）．

(1)求证：△ADC≌△A′DC；
(2)试猜想写出BC和AC、AD之间的数量关系，并给出证明．

【推荐1】如图，四边形是证明勾股定理时用到的一个图形，a､b､c是和边长，易知，这时我们把关于x的形如的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”，请解决以下问题：

（1）判断是否为“勾系一元二次方程”，并说明理由．
（2）求证：关于x的“勾系一元二次方程”必有实数根．
（3）若是“勾系一元二次方程”的一个根，且四边形的周长是，求面积．

【推荐2】如图，直线经过矩形的对角线的中点，分别与矩形的两边相交于点、.

(1)求证：；
(2)若，则四边形是______形，并说明理由；
(3)在(2)的条件下，若，，求的面积.

【推荐3】如图1，在四边形中，若均为直角，则称这样的四边形为“美妙四边形”．

（1）概念理解：长方形__________________美妙四边形（填“是”或“不是”）；
（2）性质探究：如图l，试证明：；
（3）概念运用：如图2，在等腰直角三角形中，，点为的中点，点，点分别在上，连接，如果四边形是美妙四边形，试证明：．

【推荐1】如图1，三个正方形ABCD、AEMN、CEFG，其中顶点D、C、G在同一条直线上，点E是BC边上的动点，连结AC、AM.
（1）求证：△ACM∽△ABE.
（2）如图2，连结BD、DM、MF、BF，求证：四边形BFMD是平行四边形.
（3）若正方形ABCD的面积为36，正方形CEFG的面积为4，求五边形ABFMN的面积.
       

【推荐2】综合与实践：
如图1，已知△ABC，AB=AC，点D、E分别在边AB、AC上，AD=AE，连接DC，点P、Q、M分别为DE、BC、DC的中点．
（1）观察猜想
在图1中，线段PM与QM的数量关系是　　　　　　；
（2）探究证明
当∠BAC=60°，把△ADE绕点A顺时针方向旋转到图2的位置，判断△PMQ的形状，并说明理由；
（3）拓展延伸
当∠BAC=90°，AB=AC=5，AD=AE=2，再连接BE，再取BE的中点N，把△ADE绕点A在平面内自由旋转，如图3，
①请你判断四边形PMQN的形状，并说明理由；
②请直接写出四边形PMQN面积的最大值．

【推荐3】已知四边形和四边形都是正，且．

（1）如图1，连接、．求证：；
（2）如图2，如果正方形绕点旋转到某一位置恰好使得，．若正方形的边长是，求正方形的边长．