【推荐1】如图，已知△ABC是等边三角形．
(1)如图（1），点E在线段AB上，点D在射线CB上，且ED=EC．将△BCE绕点C顺时针旋转至△ACF，连接EF．猜想线段AB，DB，AF之间的数量关系；
(2)点E在线段BA的延长线上，其它条件与（1）中一致，请在图（2）的基础上将图形补充完整，并猜想线段AB，DB，AF之间的数量关系；
(3)请选择（1）或（2）中的一个猜想进行证明．

【推荐2】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
（1）如图1，△ABC中，若AB=5，AC=3，求BC边上的中线AD的取值范围．
小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：
延长AD到E，使得DE=AD，再连接BE（或将△ACD绕点D逆时针旋转180°得到△EBD），把AB、AC、2AD集中在△ABE中，利用三角形的三边关系可得2＜AE＜8，则1＜AD＜4．

感悟：解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑构造以中点为对称中心的中心对称图形或全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中．
（2）问题解决：
受到（1）的启发，请你证明下面命题：如图2，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF．
①求证：BE+CF＞EF；②若∠A=90°，探索线段BE、CF、EF之间的等量关系，并加以证明；
（3）问题拓展：
如图3，在四边形ABDC中，∠B+∠C=180°，DB=DC，∠BDC=120°，以D为顶点作∠EDF为60°角，角的两边分别交AB、AC于E、F两点，连接EF，探索线段BE、CF、EF之间的数量关系，并加以证明．

【推荐1】如图1，在正方形中，点，分别在边，上，，连接，交于点．

(1)求证：；
(2)如图，在（1）的条件下，连接，取的中点，连接，求证：；
(3)在（2）的条件下，若，求的值．

【推荐2】问题情境：如图1，在正方形ABCD中，E为边BC上一点（不与点B、C重合），垂直于AE的一条直线MN分别交AB、AE、CD于点M、P、N．判断线段DN、MB、EC之间的数量关系，并说明理由．

问题探究：在“问题情境”的基础上，
（1）如图2，若垂足P恰好为AE的中点，连接BD，交MN于点Q，连接EQ，并延长交边AD于点F．求∠AEF的度数；

（2）如图3，当垂足P在正方形ABCD的对角线BD上时，连接AN，将△APN沿着AN翻折，点P落在点P'处．若正方形ABCD的边长为4 ，AD的中点为S，求P'S的最小值．

问题拓展：如图4，在边长为4的正方形ABCD中，点M、N分别为边AB、CD上的点，将正方形ABCD沿着MN翻折，使得BC的对应边B'C'恰好经过点A，C'N交AD于点F．分别过点A、F作AG⊥MN，FH⊥MN，垂足分别为G、H．若AG＝，请直接写出FH的长．

【推荐3】如图，抛物线y=–x²+bx+c过点A（3，0），B（0，2）．M（m，0）为线段OA上一个动点（点M与点A不重合），过点M作垂直于x轴的直线与直线AB和抛物线分别交于点P、N．
（1）求直线AB的解析式和抛物线的解析式；
（2）如果点P是MN的中点，那么求此时点N的坐标；
（3）如果以B，P，N为顶点的三角形与△APM相似，求点M的坐标．

【推荐1】数学兴趣小组发现这样一个问题

如图，点D在上，且，，点A是线段上一动点，点E在上，且，和相交于点F，当为等腰三角形时，求的长．

（1）点A在上的不同位置时，画出相应图形，测量线段的长度，得到下表的几组对应值

	0	1.0	2.0	3.0	4.0	5.0	6.0	7.0	8.0	9.0	10.0
	10.0	9.0	8.0	7.0	6.0	5.0	4.0	3.0	2.0	1.0	0
	10.0	8.4	6.8	5.2	3.9	3.1	2.7	2.6	2.5	2.2	0
	0	1.	2.2	3.2	4.0	4.4	4.4	4.1	3.6	2.7	0

当时，的长为___________．

（2）将线段的长度作为自变量x，和的长度都是x的函数，分别记为和，并在平面直角坐标系中画出了函数的图象，如图所示，请在同一坐标系中画出函数的图象；
（3）继续在同一坐标系中画出所需的函数图象，并结合图象直接写出：当为等腰三角形时，线段长度的近似值（结果保留一位小数）．

【推荐2】如图，在矩形中，，，连接，点为的中点，点为边上的一个动点，连接，作，交边于点．已知点从点开始，以的速度在线段上移动，设运动时间为．解答下列问题：

（1）当为何值时，？
（2）连接，设的面积为，求与的函数关系式；
（3）在运动过程中，是否存在某一时刻，使？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；
（4）连接，在运动过程中，是否存在某一时刻，使恰好将分成面积比为的两部分？若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由．

【推荐3】如图，抛物线与轴交于，，与轴交于点．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）如图1，为抛物线上在第二象限内的一点，若面积为3，求点的坐标；
（3）如图2，为抛物线的顶点，在线段上是否存在点，使得以，，为顶点的三角形与相似？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由．