【推荐3】如图，正方形中，点从点出发沿边向点运动，到达点停止．作射线，将绕着点逆时针旋转45°，与边交于点，连接．

（1）画图，完善图形．
（2）三条线段，，之间有无确定的数量关系？请说明理由．
（3）过点作于．若线段的最大值为4，求点运动的路径长．

【推荐1】已知四边形是菱形，．

(1)如图1，是上一点，连接并延长，交的延长线于点，交于点，若，
①求的长；
②求的长；
(2)如图2，是的中点，连接，过点作交的延长线于点，点在上，连接，分别过点作直线的垂线，垂足分别为，若，求的长；
(3)如图3，为上一点，为上一点，，分别过点作的平行线，两条直线交于点，将四边形绕点顺时针旋转，如图4，直线交直线于点，求的值．

【推荐2】（1）操作思考：如下图，在平面直角坐标系中，等腰直角的直角顶点在原点，将其绕着点旋转，若顶点恰好落在点处．则：

①的长为______；②点的坐标为______；（直接写结果）
（2）拓展研究：如下图，在直角坐标系中，点，过点作轴，垂足为点，作轴，垂足为点，是线段上的一个动点，点是直线上一动点，是否存在以点为直角顶点的等腰直角，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

（3）感悟应用：如下图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像交轴于点，交轴于点，若将直线绕点旋转后与轴交于点，则点的坐标为______．（直接写出答案）

【推荐3】【基本图形】（1）如图1，在矩形中，于点H，交于点E．求证：；
   
【类比探究】（2）如图2，在四边形中，，．E是边上的一动点，过点C作，交的延长线于点G，交的延长线于点F．试探究是否为定值？若是，请求出的值；若不是，请说明理由；
   
【拓展延伸】（3）如图3，在中，，将沿翻折得到，点E，F分别在边上，连接．若，且，则的值为______（直接写出结果）．
   

【推荐2】如图，长方形纸片ABCD中，AB＝8，将纸片折叠，使顶点B落在边AD上的E点处，折痕的一端G点在边BC上．
（1）如图1，当折痕的另一端F在AB边上且AE＝4时，求AF的长；
（2）如图2，当折痕的另一端F在AD边上且BG＝10时，
①求证：△EFG是等腰三角形；②求AF的长；
（3）如图3，当折痕的另一端F在AD边上，B点的对应点E到AD的距离是4，且BG＝5时，求AF的长．

【推荐3】如图1，在直角坐标系中，O是坐标原点，点A在y轴正半轴上，二次函数y=ax²+x+c的图象F交x轴于B、C两点，交y轴于M点，其中B（﹣3，0），M（0，﹣1）．已知AM=BC．

(1)求二次函数的解析式；
(2)证明：在抛物线F上存在点D，使A、B、C、D四点连接而成的四边形恰好是平行四边形，并请求出直线BD的解析式；
(3)在（2）的条件下，设直线l过D且l⊥BD，分别交直线BA、BC于不同的P、Q两点，AC、BD相交于N，求的值；

【推荐1】【数学概念】
我们把存在内切圆与外接圆的四边形称为双圆四边形．例如，如图①，四边形内接于，且每条边均与相切，切点分别为E，F，G，H，因此该四边形是双圆四边形．

【性质初探】
(1)双圆四边形的对角的数量关系是___________，依据是___________．
(2)直接写出双圆四边形的边的性质．（用文字表述）
(3)在图①中，连接，，求证．
【揭示关系】
(4)根据双圆四边形与四边形、平行四边形、矩形、菱形、正方形的关系，在图②中画出双圆四边形的大致区域，并用阴影表示．
【特例研究】
(5)已知P，M分别是双圆四边形的内切圆和外接圆的圆心，若，，，则的长为___________．

【推荐2】如图，在中，，，，在边，上分别取点P，D，使得，过点P，A，D的交于点E，交于点F，连结，．

（1）求证：．
（2）当圆心O落在上时，求的半径长．
（3）当与的一边相等时，求出所有满足条件的的长．

【推荐3】对于平面直角坐标系中的点和半径为1的，定义如下：
①点的“派生点”为；
②若上存在两个点，使得，则称点为的“伴侣点”．

应用：已知点
（1）点的派生点坐标为________；在点中，的“伴侣点”是________；
（2）过点作直线交轴正半轴于点，使，若直线上的点是的“伴侣点”，求的取值范围；
（3）点的派生点在直线，求点与上任意一点距离的最小值．