【推荐2】如图，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．

(1)概念理解：如图，在四边形中，，问四边形是垂美四边形吗？请说明理由．
(2)性质探究：试探索垂美四边形两组对边，与，之间的数量关系．
猜想结论：（要求用文字语言叙述）                        
写出证明过程（先画出图形，写出已知、求证）．
(3)问题解决：如图，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接，，已知，，求长．

【推荐3】已知，在内部作等腰，，．点D为射线上任意一点，连接，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接并延长交射线于点F．

(1)如图1，当时，试探究线段与的数量关系并证明；
(2)如图2，当时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；
(3)若，，当点D在直线上运动的过程中，请直接写出的最小值是______．

【推荐1】如图1，为锐角三角形的外接圆，点D在上，交于点E，点F在上，满足，交于点G，，连结，．设．

   

(1)用含a的代数式表示：
(2)求证：；
(3)如图2，为的直径．
①当的长为2时，求的长；
②当时，求的值．

【推荐2】我们称长与宽之比为的矩形为“奇异矩形”，特别地，我们称长为，宽为1的矩形为“基本奇异矩形”，如图1所示，它的奇异之处在于：可以用若干个基本奇异矩形（互不重叠且不留缝隙地）拼成一般的奇异矩形，例如，图2中用2个基本奇异矩形拼成了一个奇异矩形．

(1)①请你在图3的虚线框中画出用4个基本奇异矩形拼成的奇异矩形（请仿照图1、图2标注必要的数据）；
②请你在图4的虚线框中画出用8个基本奇异矩形拼成的奇异矩形；
(2)若用k个基本奇异矩形可以拼成一般的奇异矩形，你发现正整数k有何特点？请叙述你的发现______；
(3)①用16个基本奇异矩形拼成的奇异矩形，其对角线长为______；
②用128个基本奇异矩形拼成的奇异矩形，其对角线长为______；
③用m个基本奇异矩形拼成的奇异矩形，其对角线长为，则m＝______．

【推荐3】如图，在Rt△ABC中，AC=BC=4，∠ACB=90°，正方形BDEF的边长为2，将正方形BDEF绕点B旋转一周，连接AE、BE、CD．
（1）请判断线段AE和CD的数量关系，并说明理由；
（2）当A、E、F三点在同一直线上时，求CD的长；
（3）设AE的中点为M，连接FM，试求线段FM长的最小值．

【推荐2】如图，正方形的边、在坐标轴上，点坐标，将正方形绕点顺时针旋转角度，得到正方形，交线段于点，的延长线交线段于点，连、．
（1）求证：；
（2）求的度数，并判断线段、、之间的数量关系，说明理由；
（3）当时，求直线的解析式．

【推荐3】如图，在等腰直角△ABC中，∠C是直角，点A在直线MN上，过点C作CE⊥MN于点E，过点B作BF⊥MN于点F．
（1）如图1，当C，B两点均在直线MN的上方时，
①直接写出线段AE，BF与CE的数量关系．
②猜测线段AF，BF与CE的数量关系，不必写出证明过程．
（2）将等腰直角△ABC绕着点A顺时针旋转至图2位置时，线段AF，BF与CE又有怎样的数量关系，请写出你的猜想，并写出证明过程．
（3）将等腰直角△ABC绕着点A继续旋转至图3位置时，BF与AC交于点G，若AF=3，BF=7，直接写出FG的长度．

【推荐1】“构造图形解题”，它的应用十分广泛，特别是有些技巧性很强的题目，如果不能发现题目中所隐含的几何意义，而用通常的代数方法去思考，经常让我们手足无措，难以下手，这时，如果能转换思维，发现题目中隐含的几何条件，通过构造适合的几何图形，将会得到事半功倍的效果，下面介绍两则实例：
实例一：勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之…，在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如实例图一），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．他利用直角边为a和b，斜边为c的四个全等的直角三角形拼成如图所示的图形（如实例图一），由得，化简得：．
   
实例二：欧几里得的《几何原本》记载，关于x的方程的图解法是：画，使，，，再在斜边上载取，则的长就是该方程的一个正根（如实例图二）．
   
根据以上阅读材料回答下面的问题：
(1)如图1，请利用图形中面积的等量关系，写出甲图要证明的数学公式是______．乙图要证明的数学公式是______；
   
(2)如图2，利用欧几里得的方法求方程的一个正根．
   
(3)如图3，已知，为直径，点C为圆上一点，过点C作于点D，连接，设，，请利用图3证明：．
   

【推荐3】如图，已知抛物线经过两点，，是抛物线与轴的交点．

（1）求抛物线的解析式；
（2）点在平面直角坐标系第一象限内的抛物线上运动，直线与轴交于点，当时，求此时点坐标；
（3）点在抛物线上运动，点在轴上运动，是否存在点、点使得，且与相似，如果存在，请求出点和点的坐标．