【推荐1】如图，平面直角坐标系xOy中，直线l的函数解析式为，点P在直线l上，直线l与直线AB相交于点，且，．

（1）求a的值及直线l的解析式；
（2）如图1，已知，若，求点P的坐标；
（3）在坐标平面内是否存在一点Q，使得以P、A、Q、B为顶点的四边形为矩形，若存在，直接写出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．

【推荐2】如图，在平面直角坐标系中，直线交轴交于点，与交于点，，，直线：交直线于点．

(1)求直线的解析式及点的坐标；
(2)如图1，为直线上一动点且在第一象限内，为轴上的动点，在右侧且，当时，求最小值；
(3)如图2，将沿着射线方向平移，平移后三点分别对应三点．当过点时，在平面内是否存在点，在直线是否存在点，使得以四个点为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点坐标；若不存在，请说明理由．

【推荐3】如图，在中，，，，于点．点从点出发，沿线段向点运动，点从点出发，沿线段向点运动，两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度，当点运动到时，两点都停止．设运动时间为秒．

（1）求线段的长；
（2）设的面积为，求与之间的函数关系式，并确定在运动过程中是否存在某一时刻，使得？若存在，求出的值；若不存在，则说明理由；
（3）是否存在某一时刻，使得为等腰三角形？若存在，求出所有满足条件的的值；若不存在，请说明理由．

【推荐2】如图1，抛物线与轴交于点，与轴交于点．顶点为．
   
(1)求拋物线的解析式；
(2)若抛物线在第四象限上有一点，，求点的坐标；
(3)如图2，直线交抛物线于两点．直线轴，直线与交于点，求的最小值．

【推荐3】如图1，一次函数的图像与轴交于点，与轴交于点，点在轴的正半轴上，且．

(1)求点的坐标和直线的函数表达式；
(2)如图2，设点是轴上的一个动点，过点作轴的平行线，交直线于点，交直线于点．
①当的面积为时，求点的坐标；
②当时，求点的坐标．

【推荐1】如图，在正方形中，点在边上，点在边上， ，连接，与对角线交于点．
   
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，过点作于点，交边于点，求证：；
(3)如图3，在（2）的条件下，连接，若，，求的长．

【推荐2】【发现问题】
如图1，已知，以点为直角顶点，为腰向外作等腰直角、请你以为直角顶点、为腰，向外作等腰直角（不写作法，保留作图痕迹）．连接、．那么与的数量关系是________．

【拓展探究】
如图2，已知，以、为边向外作正方形和正方形，连接、，试判断与之间的数量关系，并说明理由．

【解决问题】
如图3，有一个四边形场地，，，，，求的最大值．

【推荐1】在中，．，且．点D、E、F分别是边上的动点（点E在点F左边），且，．

(1)如图1，求证：；
(2)如图2，当点D运动到与点A重合时，若设．，求y关于x的函数关系式（写出x的取值范围）；
(3)如图3，连接，当为等腰三角形时，直接写出y的值．

【推荐3】在平面直角坐标系中，对于两个点，和图形，如果在图形上存在点，（，可以重合）使得，那么称点与点是图形的一对平衡点．
(1)已知的半径为，点的坐标为．若点在第一象限，且点与点是的一对平衡点，求的取值范围；
(2)已知点，以点为圆心，长为半径画弧交的正半轴于点．点（其中）是坐标平面内一个动点，且，是以点为圆心，半径为的圆，若上的任意两个点都是的一对平衡点，直接写出的取值范围．