【推荐1】已知抛物线：与轴交于、两点与轴交于点，顶点为．
(1)求抛物线的表达式；
(2)将抛物线绕原点旋转后得到抛物线，的顶点为，点为上的一点，当的面积等于的面积时，求点的坐标．

【推荐2】如图，拋物线与轴交于两点，与轴交于点，抛物线的对称轴是直线，已知点．

(1)求抛物线的解析式；
(2)是线段上的一个动点，过点作轴，延长交抛物线于点，求线段的最大值及此时点的坐标；
(3)在轴上是否存在一点，使得？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由．

【推荐3】如图，抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（4，﹣），且与y轴交于点C（0，2），与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边）
（1）求抛物线的解析式及A，B两点的坐标；
（2）若（1）中抛物线的对称轴上有点P，使△ABP的面积等于△ABC的面积的2倍，求出点P的坐标；
（3）在（1）中抛物线的对称轴l上是否存在一点Q，使AQ+CQ的值最小？若存在，求AQ+CQ的最小值；若不存在，请说明理由．

【推荐1】我们约定：图象关于轴对称的函数称为偶函数．
   
(1)下列函数是偶函数的有________（填序号）；
①；②；③；④．
(2)已知二次函数（为常数）是偶函数，将此偶函数向下平移得到新的二次函数，新函数的图象与轴交于，两点（在的左侧），与轴交于点，若以为直径的圆恰好经过点，求平移后新函数的解析式；
(3)如图，已知偶函数（）经过，，过点的一次函数的图象与二次函数的图象交于，两点（在的左侧），过点分别作轴于点C，轴于点，取的中点，连接、，分别用，，表示，，的面积，若．
①证明：；       
②求直线的解析式．

【推荐2】已知二次函数的图像经过点P（0，）、A（5，0）、B（1，0）．

（1）求该二次函数的解析式；
（2）点C在该二次函数的图像上，当△ABC的面积为12时，求点C坐标；
（3）在（2）的条件下，求△ABC外接圆圆心点D的坐标．

【推荐3】如图，抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点，连接，．

(1)求抛物线的解析式；
(2)点P在第四象限的抛物线上，若的面积为4时，求点P的坐标；
(3)点M在抛物线上，当时，求点M的横坐标．

【推荐1】如图，直线交x轴于点B、y轴于点C，抛物线经过点B，点C，且过，连接，点P是第一象限内抛物线上的一个动点．

(1)求此抛物线的表达式；
(2)动点P运动到什么位置时，的面积最大？若存在，请求出符合条件的P点的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)过点P作轴，垂足为点M，交于点Q．试探究点P在运动过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点P的坐标，若不存在，请说明理由；

【推荐2】如图，抛物线y＝x²＋bx﹣1与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），交y轴于点C，顶点为D，对称轴为直线x＝﹣，连接AC，BC．

(1)求抛物线的解析式；
(2)求△ABC的面积；
(3)在抛物线的对称轴上是否存在点E，使得△CDE为等腰三角形？如果存在，请直接写出点E的坐标，如果不存在，请说明理由．

【推荐3】已知：直线y=x﹣3与x轴、y轴分别交于点A、B，抛物线y=x²+bx+c经过点A、B，且交x轴于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P为抛物线上一点，且点P在AB的下方，设点P的横坐标为m．
①试求当m为何值时，△PAB的面积最大；
②当△PAB的面积最大时，过点P作x轴的垂线PD，垂足为点D，问在直线PD上否存在点Q，使△QBC为直角三角形？若存在，直接写出符合条件的Q的坐标若不存在，请说明理由．

【推荐1】如图，抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（-1,0），B（4,0）两点，与y轴交于点C，且OC=3OA，点P是抛物线上的一个动点，过点P作PE⊥x轴于点E，交直线BC于点D，连接PC.
（1）求抛物线的解析式；
（2）当点P在抛物线上运动时，将△CPD沿直线CP翻折，点D的对应点为点Q，试问四边形CDPQ是否能成为菱形？如果能，请求出此时点P的坐标，如果不能，请说明理由．

【推荐2】抛物线y＝﹣x²+x+b与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．
（1）若B点坐标为（2，0）
①求实数b的值；
②如图1，点E是抛物线在第一象限内的图象上的点，求△CBE面积的最大值及此时点E的坐标．
（2）如图2，抛物线的对称轴交x轴于点D，若抛物线上存在点P，使得P、B、C、D四点能构成平行四边形，求实数b的值．（提示：若点M，N的坐标为M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则线段MN的中点坐标为（，）

【推荐3】综合与探究
如图，抛物线经过点A(-2,0)，B(4,0)两点，与轴交于点C，点D是抛物线上一个动点，设点D的横坐标为.连接AC，BC，DB，DC，
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)△BCD的面积等于△AOC的面积的时，求的值；
(3)在(2)的条件下，若点M是轴上的一个动点，点N是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点M,使得以点B，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由.