【推荐1】如图，在中，，，垂足是点，平分，交于点，在外有一点，使，

(1)求证：；
(2)在上取一点，使，连接，交于点，连接．求证：①；②．

【推荐2】如图，在等腰中，，，于点，点在线段上，连接，，将线段绕点逆时针旋转，点的对应点恰好落在的延长线上．

(1)如图①，当时．
①求证：；
②求的值；
(2)如图②，当时，求的长．

【推荐3】已知∠AOB=90°，OM是∠AOB的平分线，按以下要求解答问题：
（1）如图1，将三角板的直角顶点P在射线OM上移动，两直角边分别与OA，OB交于点C，D．

①比较大小：PC______PD． (选择“>”或“<”或“=”填空）；
②证明①中的结论．
（2）将三角板的直角顶点P在射线OM上移动，一直角边与边OA交于点C，且OC=1，另一直角边与直线OB，直线OA分别交于点D，E，当以P，C，E为顶点的三角形与△OCD相似时，试求的长．（提示：请先在备用图中画出相应的图形，再求的长）．

【推荐1】在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且∠EAF=45°．EA交BD于M，AF交BD于N．

(1)作△APB≌△AND（如图①），求证：△APM≌△ANM；
(2)求证：；
(3)矩形ABCD中，M、N分别在BC、CD上，∠MAN=∠CMN=45°，（如图②），请你直接写出线段MN，BM，DN之间的数量关系．

【推荐3】问题背景：一次小组合作探究课上，小明将一个正方形和等腰按如图1所示的位置摆放（点B、C、E在同一条直线上），其中．小组同学进行了如下探究，请你帮助解答：

(1)初步探究
如图2，将等腰绕点C按顺时针方向旋转，连接，．请直接写出与的关系 　 　；
(2)如图3，将（1）中的正方形和等腰分别改成菱形和等腰，其中，其他条件不变，求证：；
(3)深入探究
如图4，将（1）中的正方形和等腰分别改成矩形和，其中且，其它条件不变．
①探索线段与的关系，说明理由；
②连接，若，直接写出　 　．

【推荐1】如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y=-交x轴于A、B两点，点C在抛物线上，且点C的横坐标为-1，连接BC交y轴于点D．

(1)如图1，求点D的坐标；
(2)如图2，点P在第二象限内抛物线上，过点P作PG⊥x轴于G，点E在线段PG上，连接AE，过点E作EF⊥AE交线段DB于F，若EF=AE，设点P的横坐标为t，线段PE的长为d，求d与t的函数关系式；
(3)如图3，在（2）的条件下，点H在线段OB上，连接CE、EH，若∠CEF=∠AEH，EH-CE=，求点P的坐标．

【推荐2】如图，抛物线y＝x²+bx+c与x交于A，B两点，与y轴交于点C，其对称轴交抛物线于点D，交x轴于点E，已知OB＝OC＝12．

(1)求抛物线的解析式以及点D的坐标．
(2)联结BD，F为抛物线上一点，当∠FAB＝∠ACO时，求点F的坐标．
(3)平行于x轴的直线交抛物线于M，N两点，以线段MN为对角线作菱形MPNQ，当点P在x轴上，且PQ＝MN时，求菱形对角线MN的长．

【推荐3】如图，已知抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点，过点B作直线轴，过点D作，交直线l于点E．

(1)求抛物线的解析式；
(2)点P为第三象限内抛物线上的点，作直线交于点Q．
①连接，若轴，求的面积；
②当时，求点P的坐标；
(3)在（2）②中的条件下，连接，在直线上是否存在点F，使，若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．

【推荐1】如图，是⊙O的直径，点在⊙O上，且，点是⊙O外一点，与⊙O相切于点，连接，过点作∥交⊙O于点，连接交于点．
（1）求证：；
（2）求证：是⊙O的切线；
（3）若，，连接，求的长．

【推荐2】（1）如图1，正方形中，点E，F分别是、边上，且于点O，求证：．
（2）如图2，在（1）的条件下，连接并延长交于点G，若点G为边中点，求证：．
（3）在（2）的条件下，求的值．

【推荐3】如图，半圆中，直径，点为弧中点，点在弧上，连接并延长交的延长线于点，连接交于点，连接．

(1)①求证：；
②若点D为中点，求的长．
(2)求证：面积与的面积差为定值，并求出该定值．
(3)若，求的值．