【推荐1】一个问题解决往往经历发现猜想——探索归纳——问题解决的过程，下面结合一道几何题来体验一下．
【发现猜想】（1）如图①，已知，，为的角平分线，求的度数．
【探索归纳】（2）如图①，，，为的角平分线，则的度数为______（直接写出结果，用含m、n的代数式表示）．
【问题解决】（3）如图②，若，，，若射线绕点O以每秒逆时针旋转，射线绕点O以每秒顺时针旋转，射线绕点O以每秒顺时针旋转，三条射线同时旋转，当一条射线与直线重合时，三条射线同时停止运动．运动几秒时，其中一条射线是另外两条射线夹角的角平分线？

【推荐2】【操作感知】
如图1，长方形透明纸上有一条数轴，是周长为4的圆的直径，点与数轴原点重合，将圆从原点出发沿数轴正方向滚动1周，点落在数轴上的点处；圆从原点出发沿数轴负方向滚动半周，点落在数轴上的点处，

（1）此时点点分别表示的数为______，______，折叠长方形透明纸，使数轴上的点与点重合，此时数轴上折痕表示的数为_______．
（2）【建立模型】
折叠长方形透明纸，使得数轴上表示数的点与表示数的点重合，此时数轴上折痕表示的数为_______________．（用含的代数式表示）．
（3）【问题解决】
①若为数轴上不同的三点，点表示的数为，点表示的数为2，如果三点中的一点到其余两点的距离相等，求点表示的数；
②如图2，若是周长为的圆的直径，点与数轴原点重合，将圆从原点出发沿数轴正方向滚动2周，点落在数轴上的点处；将圆从原点出发沿数轴负方向滚动1周，点落在数轴上的点处．将此长方形透明纸沿剪开，将点之间一段透明纸对折，使其左、右两端重合，这样连续对折次后，再将其展开，那么数轴上最右端折痕在数轴上表示的数为________．

【推荐3】数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．
   
举例：数轴上表示2和5两点间的距离是3；表示和5两点间的距离是7；
一般地，数轴上表示数a和数b的两点之间的距离可表示为；
运用：
(1)若，则的值为            ；
(2)若数轴上表示数a的点位于与2之间，则＝       ．
(3)若代数式，则的值为            ；
(4)数轴上，点O表示原点，点A、B分别表示负整数和正整数，若，且的长是长的3倍，则          ．

【推荐2】（分类讨论思想）的两外角平分线交于点．
   
(1)如图1，若，则的度数为__________．
(2)如图2，过点作直线，分别交射线于点，若设，，则与的数量关系是__________．
(3)在（2）的条件下，将直线绕点转动．
①如图3，当直线与线段没有交点时，试探索与，之间的数量关系，并说明理由．
②当直线与线段有交点时，试问①中与，之间的数量关系是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请给出三者之间的数量关系．

【推荐3】综合与探究：
将直角三角板和直角三角板按如图1所示的方式放置，两个顶点重合于点O，且，，，平分，平分．将三角板绕，点O逆时针旋转一周的过程中（旋转中和均是指小于的角），探究的度数．

(1)当三角板绕点O旋转至如图2的位置时，与重合，则_________，_________．
(2)当三角板绕点O旋转至如图3的位置时，此时B，O，D三点在同一直线上，求的度数．
(3)三角板绕点O旋转过程中，的度数还有其他可能吗？若有，请直接写出的度数；若没有，请说明理由．
(4)类比拓展：当的度数为时，其他条件不变，在旋转过程中，请直接写出的度数．（用含的代数式表示）

【推荐1】如图，已知，点P是射线上一动点（与点A不重合），，分别平分和，交射线于点C，D．

(1)①当时，的度数是________；
②∵，∴________；
(2)时，的度数=________（用含x的代数式表示）；
(3)当点P运动时，与的度数之比是否随点P的运动而发生变化？若不变化，请求出这个比值，若变化，请写出变化规律；
(4)当点P运动到使，且时，求的度数．

【推荐2】已知，，平分，．
   
(1)如图1，求证：
(2)如图2，与延长线相交于点，，求的度数

【推荐3】【阅读理解】：两条平行线间的拐点问题经常可以通过作一条直线的平行线进行转化．例如：如图1，，点C、B分别在直线MN、PQ上，点A在直线MN、PQ之间．

（1）求证：∠CAB＝∠MCA＋∠PBA；
证明：如图1，过点A作，
∵，，
∴，
∴∠MCA＝∠DAC，∠PBA＝∠DAB，
∴∠CAB＝∠DAC＋∠DAB＝∠MCA＋∠PBA，
即：∠CAB＝∠MCA＋∠PBA；
【类比应用】已知直线，P为平面内一点，连接PA、PD．
（1）如图2，已知∠A＝50°，∠D＝150°，求∠APD的度数；说明理由．
（2）如图3，设、、直接写出、、∠P之间的数量关系为______．
【联系拓展】如图4，直线，P为平面内一点，连接PA、PD．AP⊥PD，DN平分∠PDC，若，运用（2）中的结论，求∠N的度数．说明理由．

【推荐1】如图1，将一副直角三角尺的顶点叠一起放在点A处，∠BAC=60°，∠DAE=45°，保持三角尺ABC不动，三角尺AED绕点A顺时针旋转，旋转角度小于180°．
(1)如图2，AD是∠EAC的角平分线，直接写出∠DAB的度数；
(2)在旋转的过程中，当∠EAB和∠DAC互余时，求∠BAD的值．

【推荐2】已知直线，点、分别为，上的动点，且平分交于．

(1)如图，若，，
①直接写出的度数；
②求与的度数．
(2)如图，延长交直线于，平分交于点，写出与的关系，并说明理由．

【推荐3】点O为直线l上一点，射线均与直线l重合，如图1所示，过点O作射线 和射线，使得，作的平分线．

(1)求与的度数；
(2)作射线，使得，请在图2中画出图形，并求出的度数；
(3)如图3，将射线从图1位置开始，绕点O以每秒的速度逆时针旋转一周，作的平分线当时，求旋转的时间．