【推荐2】定义：如图1，线段是圆O的三条半径，当平分时，我们称点P是弧的中点，半径是扇形的“弧中线”．如图2，线段是圆O的直径，半径分别从位置同时出发绕点O逆时针旋转，每秒旋转30度，每秒旋转60度，设运动时间为t秒（其中）．

(1)当，且半径是扇形的“弧中线”时，求t的值；
(2)当时，是否存在t值使得半径是扇形的“弧中线”？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由．
(3)若半径是扇形的“弧中线”，半径是扇形的“弧中线”，当时，请直接写出此时t的值．

【推荐1】如图，点O是直线上的一点，从点O引出一条射线，使，射线、同时绕点O旋转．

(1)若两条射线、旋转方向相反，在两射线均旋转一周之内，射线、同时与射线重合，则射线与旋转的速度之比为____；
(2)若两条射线、同时绕点O顺时针旋转，射线每秒旋转，射线每秒旋转，设旋转时间为t秒，，当时，求t的值．

【推荐2】已知，如图1，直线与直线，分别交于A，B两点，射线平分交直线于点D，．

(1)试说明：；
(2)如图2，已知点F是线段上一个动点，连接，的平分线交直线于M．
①若，，求的度数；
②若，请直接写出与的数量关系（用含代数式表示）．

【推荐3】如图1，将一只含角的直角三角板按如图摆放，其中，顶点A，C分别在直线上（），此时恰好平分，交直线于D点，过D点作交于E点，连接，在上取一点F，使，的角平分线交于G点．

(1)_______°；
(2)求证：平分；
(3)现将三角板绕顶点A逆时针旋转一定的度数（如图2），的延长线交于点K，连接，过D点作交于E点，在上取一点F，使得相等，的角平分线交于G点，若，求此时的度数．

【推荐1】平面内有直线AB和直线CD，点E是平面内任意一点，连接AE、CE，∠AEC＝60°．

(1)若直线AB∥CD；
如图1，当点E在两条平行线之间时，直接写出∠BAE与∠DCE的数量关系 　 　；
如图2，当点E在两条平行线外部时，直接写出∠BAE与∠DCE的数量关系 　 　；
(2)若直线AB与CD相交于点O，且∠AOC＝60°，如图3，当点E在∠AOC内部，且∠AEC＝45°，猜想∠BAE与∠DCE的数量关系，并证明；
(3)我们小学学习过三角形的内角和等于180°，若直线AB与CD相交于点O，且∠AOC＝60°，如图4，当点E在∠AOC外部，且∠AEC＝45°，分别作射线AM平分∠BAE、作射线CN平分∠DCE，反向延长AM与CN交于点P，求∠APN的度数？

【推荐3】在△ABC中，∠ACB＝2∠B，∠BAC的平分线AD交BC于点D．

(1)如图1，过点C作 CF⊥AD于F，延长CF交AB于点E．连接DE．
①说明AE＝AC的理由；
②说明BE＝DE的理由；
(2)如图2，过点B作直线BM⊥AD交AD延长线于M，交AC延长线于点N．说明CD＝CN的理由．