【推荐1】如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，连接，是直线上方抛物线上一动点，连接，交于点．其中，．
   
(1)求抛物线的解析式；
(2)求的最大值；
(3)若函数在其中范围内的最大值为，最小值为，且，求的取值范围．

【推荐2】如图，已知二次函数图象的顶点坐标为C(1,0)，直线与该二次函数的图象交于A、B两点，其中A点的坐标为(3,4)，B点在轴上.
(1)求的值及这个二次函数的关系式；
(2)P为线段AB上的一个动点（点P与A、B不重合），过P作轴的垂线与这个二次函数的图象交于点E点，设线段PE的长为，点P的横坐标为，求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
(3)D为直线AB与这个二次函数图象对称轴的交点，在线段AB上是否存在一点P，使得四边形DCEP是平行四边形？若存在，请求出此时P点的坐标；若不存在，请说明理由.
   

【推荐3】已知抛物线经过点、、．

(1)求抛物线解析式和直线的解析式；
(2)如图（1），若点P是第四象限抛物线上的一点，若，求点P的坐标；
(3)如图（2），点M是直线上方抛物线上的一个动点（不与A、C重合），过点M作垂直于点H，求的最大值．

【推荐1】在平面直角坐标系中，已知，，且以为直径的圆交y轴的正半轴于点C，过点C作圆的切线交x轴于点D．

(1)求点C的坐标和过A，B，C三点的抛物线的析式；
(2)求点D的坐标：
(3)设平行于x轴的直线交抛物线于E，F两点，问：是否存在以线段为直径的圆，恰好与x轴相切？若存在，求出该圆的半径，若不存在，请说明理由．

【推荐2】【旧知再现】圆内接四边形的对角         .
如图①，四边形是的内接四边形，若，则        .

【问题创新】圆内接四边形的边会有特殊性质吗？
如图②，某数学兴趣小组进行深入研究发现：
证明：如图③，作，交于点.   
∵，
∴，
∴   即     （请按他们的思路继续完成证明）
【应用迁移】如图④，已知等边外接圆，点为 上一点，且，，求的长.

【推荐3】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为AB边上一点，以AD为直径的⊙O分别与BC，AC交于点E，F．连接DE，AE，且AE平分∠BAC．

(1)求证：BC是⊙O的切线；
(2)求证：BE²=BD·AB；
(3)点H为的中点，连接EH交AD于点G，若AC=6，BC=8，求GH的长．

【推荐1】在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点与轴交于，两点（点在点的左侧），其中，并且抛物线过点．

（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，点为直线上方抛物线上一点，过作轴交于点．连接，，，求四边形面积的最大值及点的坐标；
（3）如图2，将抛物线沿射线方向平移得新抛物线，是否在新抛物线上存在点，在平面内存在点，使得以，，，为顶点的四边形为正方形？若存在，直接写出此时新抛物线的顶点坐标，若不存在，请说明理由．

【推荐2】抛物线（）与轴交于点A（-3，0），B（1，0）两点，与轴交于点C（0，3），点P是抛物线上的一个动点．

(1)求抛物线的函数表达式；
(2)如图1，点P在线段AC上方的抛物线上运动（不与A，C重合），过点P作PD⊥AB，垂足为D，PD交AC于点E．作PF⊥AC，垂足为F，求△PEF的面积的最大值；
(3)如图2，点Q是抛物线的对称轴上的一个动点，在抛物线上，是否存在点P，使得以点A，P，C，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由．

【推荐3】如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），经过点A的直线与y轴负半轴交于点C，与抛物线交于另一点D．

（1）则点D的坐标为_______（用含a的式子表示）；
（2）点E是直线l上方的抛物线上的动点，若面积的最大值为，求a的值；
（3）设P是抛物线的对称轴上的一点，点Q在抛物线上，若以点A、D、P、Q为顶点的四边形成为矩形时，求出点P的坐标．

【推荐1】如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴相交于A，B两点，点C的坐标是．连接AC，BC．

(1)求过O，A，C三点的抛物线的函数表达式，并判断△ABC的形状；
(2)动点P从点O出发，沿OB以每秒2个单位长度的速度向点B运动；同时，动点Q从点B出发，沿BC以每秒1个单位长度的速度向点C运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设运动时间为ts，当t为何值时，BPQ的面积最大？
(3)当抛物线的对称轴上有一点M，使以A，B，M为顶点的三角形是等腰三角形时，求出点M的坐标．

【推荐2】已知x轴上有一个点A₁（m，0）（0<m<1），现操作如下：
若将点A₁关于点（1，0）对称得到点A₂（x₂，0），将点A₂关于点（2，0）对称得到点A₃（x₃，0）；…将点A_n关于点（n，0）对称得到点A_n+1（x _n+1，0）．把经过点A₁，A₂的抛物线记作y₁，其顶点记为B₁；把经过A₂，A₃的抛物线记作y₂，其顶点记为B₂；…；把经过点A_n，A_n+1的抛物线记作y_n，其顶点记为B_n．（n为正整数）．
(1)填空：A₁A₂=_______，A₂A₃=_______．（用含m的代数式表示）
(2)若这组抛物线y₁，y₂，y₃，…，y_n的开口都向上，且△A₁A₂B₁，△A₂A₃B₂，…△A_nA_n+1B_n均是直角三角形．
①请求出二次函数y₁，y₂的解析式（用m表示）．
②请直接写出直线于抛物线y₁，y₂，y₃，…，y₂₀₂₁共有2020个交点时，m的取值范围．
(3)若抛物线的顶点B₁，B₂，B₃，…，B_n依次是直线上的点，是否存在△A_nA_n+1B_n是等边三角形？若存在，请求出此时n的值和m的值；若不存在，说明理由．