【推荐1】如图，抛物线顶点为坐标原点、且经过点，直线经过点和点．

(1)求抛物线与直线的表达式；
(2)如果将此抛物线平移，平移后新抛物线的顶点在原抛物线上，新抛物线的对称轴与直线在原抛物线的内部相交于点，且，求新抛物线的表达式．

【推荐3】已知抛物线经过点，它的对称轴为直线，对称轴与轴交于点，抛物线与轴交于点．
(1)求，的值；
(2)若点为抛物线上不与，重合的点，且，求证：，，三点共线；
(3)当时，二次函数的最大值为，最小值为，并且满足，求的值．

【推荐3】我们定义：若一个三角形最大边上的点将该边分为两条线段，且这两条线段的积等于这个点到最大边所对顶点连线的平方，则称这个点为这个三角形的“比例中点”．例如：如图1，已知钝角中，是钝角，点是上的一点，连接，若，则称点是的“比例中点”．

(1)如图2，已知点的坐标为，点在轴上，，若点是的“比例中点”，则点的坐标为______；
(2)如图3，已知中，，，，若点是的“比例中点”，求；
(3)如图4，已知是等边三角形，因为等边三角形的三边相等，所以其中任意一条边都可以看成最大边，试判断等边三角形有没有“比例中点”？说明理由．

【推荐3】某数学兴趣小组对具有公共顶点，且其中某个角等于大角一半的几何图形中，边与边之间的数量关系进行了如下探索：
初步探索
（1）如图，，分别是正方形的边和边上的点，并且，我们可通过如下方法探索与和之间的数量关系：
因为，，所以我们以点为旋转中心，将绕点顺时针旋转，使得点与点重合，则点的对应点恰好落在的延长线上，记为点，由且易证，从而可知，，，的数量关系是______．
探索延伸
（2）如图，，是等腰直角的底边上的点，，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，给出证明；若不成立，写出新的结论，并说明理由．
拓展应用
（3）如图，在矩形中，是边的三等分点，为边上的点，且，当，时，直接写出的长．
   

【推荐2】如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴分别交于点A、点B，与y轴交于点C．

(1)如图1，连接，直接写出的值；
(2)如图2，连接．点在抛物线上，连接，若异于点G的点H也在抛物线上，且，求点H的坐标；
(3)如图3，若直线与抛物线交于点P、Q，连接交y轴正半轴于点M，连接交y轴负半轴于点N，若，求的值．