【推荐1】已知二次函数y=x²+bx+c，其图象抛物线交x轴于点A(1，0)、B(3，0)，交 y轴于点C，直线l过点C，且交抛物线于另一点E(点E不与点A、B重合)．
(1)直接写出二次函数的解析式；
(2)若直线l₁经过抛物线顶点D，交x轴于点F，且l₁∥l，则以点C、D、E、F为顶点的四边形能否为平行四边形，若能，求出点E的坐标；若不能，请说明理由；
(3)将此抛物线沿着y=2翻折，E为所得新抛物线x轴上方一动点，过E作x轴的垂线，交x轴于G，交直线y=-x-1于点F，求的最大值．
   

【推荐2】已知在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点、点（点在点的左侧），与轴交于点，抛物线的顶点为，且．

(1)求抛物线的表达式；
(2)点是线段上一点，如果，求点的坐标；
(3)在第（2）小题的条件下，将该抛物线向左平移，点平移至点处，过点作直线，垂足为点，如果，求平移后抛物线的表达式．

【推荐3】综合与探究
已知：如图，二次函数的图象的顶点为，与x轴交于B，A两点，与y轴交于点，点E为抛物线对称轴上的一个动点．

(1)求二次函数的解析式；
(2)当的周长最小时，点E的坐标为____________；
(3)当点E在x轴上方且时，试判断与的位置关系，并说明理由；
(4)若点N是y轴上的一点，坐标平面内是否存在P，使以D、B、N、P为顶点的四边形为矩形？若存在，请直接写出满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【推荐1】如图，抛物线与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，顶点为D．

（1）直接写出A、B、C、D四点的坐标和抛物线的对称轴；
（2）连接，与抛物线的对称轴交于点E，点P为线段上的一个动点，过点P作交抛物线于点F，设点P的横坐标为m；
①用含m的代数式表示线段的长，
②求出当m为何值时，四边形为平行四边形？

【推荐2】在平面直角坐标系中，等腰直角的直角顶点C在y轴上，另两个顶点A，B在x轴上，且，抛物线经过A，B，C三点，如图1所示．

（1）求抛物线所表示的二次函数表达式．
（2）过原点任作直线l交抛物线于M，N两点，如图2所示．
①求面积的最小值．
②已知是抛物线上一定点，问抛物线上是否存在点P，使得点P与点Q关于直线l对称，若存在，求出点P的坐标及直线l的一次函数表达式；若不存在，请说明理由．

【推荐3】在平面直角坐标系中，抛物线过原点O，且与轴交于另一点，其顶点为B，中，．孔明同学用一把宽为3cm带刻度的矩形直尺对抛物线进行如下测量：
① 量得cm；② 把直尺的左边与抛物线的对称轴重合，使得直尺左下端点与抛物线的顶点重合(如图1)，测得抛物线与直尺右边的交点的刻度读数为．
请完成下列问题：
(1)写出抛物线的对称轴；
(2)求抛物线的解析式；
(3)将图中的直尺(足够长)沿水平方向向右平移到点的右边(如图2)，直尺的两边交轴于点、，交抛物线于点、．
求证：．

【推荐1】如图，已知二次函数的图象与x轴交于两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且，顶点为M．
（1）求二次函数的解析式；
（2）点P为线段BM上的一个动点，过点P作x轴的垂线PQ，垂足为Q．
①若，四边形的面积为S，求S关于m的函数解析式，并写出m的取值范围；
②探索：线段BM上存在点N，使为等腰三角形时，请直接写出点N的坐标．

【推荐2】如图1，抛物线y＝x²＋bx＋c与x轴交于点A、B，OB＝3OA＝3．
（1）求抛物线的解析式；
（3）如图2，直线l与抛物线有且只有一个公共点E，l与抛物线对称轴交于点F，若点E的横坐标为2，求△AEF的面积；
（2）如图3，直线y＝kx＋n与抛物线交于点C、D，若△ACD的内心落在x轴上，求n的取值范围．

【推荐3】已知：如图，在直角坐标系中，以点M（1，0）为圆心、直径AC为的圆与y轴交于A、D两点．
（1）求点A的坐标；
（2）设过点A的直线y＝x+b与x轴交于点B．探究：直线AB是否⊙M的切线并对你的结论加以证明；
（3）在（2）的前提下，连接BC，记△ABC的外接圆面积为S₁、⊙M面积为S₂，若，抛物线y＝ax²+bx+c经过B、M两点，且它的顶点到x轴的距离为h．求这条抛物线的解析式．

【推荐1】综合与实践：
数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用的基本途径．通过探究图形的变化规律，再结合其他数学知识的内在联系，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到更广阔的数学天地．

(1)发现问题：如图1，在和中，，，，连接，，延长交于点．则与的数量关系：         ，         ；
(2)类比探究：如图2，在和中，，，，连接，，延长，交于点．请猜想与的数量关系及的度数，并说明理由；
(3)拓展延伸：如图3，和均为等腰直角三角形，，连接，，且点，，在一条直线上，过点作，垂足为点．则，，之间的数量关系：         ；
(4)实践应用：正方形中，，若平面内存在点满足，，则         ．

【推荐2】如图1，笔直的公路上有A、B两个站点相距40km，在公路的同侧有C、D两个村庄，DA⊥AB，CB⊥AB，且DA=20km，CB=10km，现政府决定在A、B之间建一个土特产加工基地E．
（1）若要使土特产加工基地E点到C、D两村的距离相等，请用直尺和圆规在图1中作出点E；
（2）在（1）的条件下求出基地E到A站的距离；
（3）若要使土特产加工基地E点到C、D两村的距离和（即DE +EC）最小，求出此最小的距离和．

【推荐3】如图，平行四边形中，，，，点P在对角线上运动（点P不与点A重合），以P为圆心，为半径作．

(1)当与边相切时，　　．
(2)当与边相切时，求的值．
(3)随着的变化，与平行四边形的边的公共点的个数也在变化．请根据的取值范围探索与平行四边形四边的公共点的个数．