【推荐1】在△ABC中，90°＜∠BAC＜120°，将线段AB绕点A逆时针旋转120°得到线段AD，连接CD．

(1)如图1，若AB＝8，∠ABC＝45°，BA⊥CD，延长BA，CD交于点K，求四边形ABCD的面积；
(2)如图2，点E是CA延长线上一点，点G是AE的中点，连接BE，BG，点F在线段AC上，点H在线段BG上，连接HF，若BG＝GF，HF＝BE，GA＝GH，2∠ACB＝∠EBG+∠ABC，求证：BC+CD＝AC；
(3)如图3，在（1）的条件下，点P是线段BC上的一个动点，连接DP，将线段DP绕点D逆时针旋转45°得到线段DP'，连接AP'，BP'，点M是△ABP'内任意一点，点P在运动过程中，AM+BM+P'M是否存在最小值；若存在，请直接写出：AM+BM+P'M的最小值；若不存在，请说明理由．

【推荐3】阅读理解：如果一个直角与一条折线相交形成一个封闭图形，那么这条折线在封闭图形上的部分就称为这个角的“补美边”． 例如：图1中∠QPK＝90°，它与折线MNGH形成的“补美边”有三条，分别是线段MN、NG和GH．
解决问题：（1）如图2，∠QPK与矩形ABCD形成“补美边”，点P在边AD上且AP＝2．若已知矩形ABCD中AB＝4，AD＝8．分别记∠QPK的两边PQ和PK交矩形的边于点E和点F，设∠APE＝，0≤≤90°．
①若＝30°，求∠QPK “补美边”的所有边长之和；
②若∠QPK “补美边”的所有边长之和为9，求tan的值．
（2）如图3，已知平行四边形ABCD中∠B＝60°，AB＝6，BC＝8．点P在边AD上且AP＝2，若∠QPK与平行四边形ABCD形成“补美边”的所有边长之和为10，请直接写出线段AE的长．

【推荐3】在菱形中，对角线与相交于，为边上的动点，过点作射线，使，交射线于．

(1)如图1，为上一点，且为重心，求的值；
(2)如图2，当运动到中点时，射线恰好过的重心．
①求的值；
②若，过作交射线于，连接，，在点从运动到的过程中，求折线段扫过的图形面积．