阅读材料：我们知道：一条直线经过等腰直角三角形的直角顶点，过另外两个顶点分别向该直线作垂线，即可得三垂直模型”如图①：在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，分别过A、B向经过点C直线作垂线，垂足分别为D、E，我们很容易发现结论：△ADC≌△CEB．
(1)探究问题：如果AC≠BC，其他条件不变，如图②，可得到结论；△ADC∽△CEB．请你说明理由．
(2)学以致用：如图③，在平面直角坐标系中，直线y＝
x与直线CD交于点M（2，1），且两直线夹角为α，且tanα＝
，请你求出直线CD的解析式．
(3)拓展应用：如图④，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝5，点E为BC边上一个动点，连接AE，将线段AE绕点E顺时针旋转90°，点A落在点P处，当点P在矩形ABCD外部时，连接PC，PD．若△DPC为直角三角形时，请你探究并直接写出BE的长．
(1)探究问题：如果AC≠BC，其他条件不变，如图②，可得到结论；△ADC∽△CEB．请你说明理由．
(2)学以致用：如图③，在平面直角坐标系中，直线y＝
x与直线CD交于点M（2，1），且两直线夹角为α，且tanα＝，请你求出直线CD的解析式．(3)拓展应用：如图④，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝5，点E为BC边上一个动点，连接AE，将线段AE绕点E顺时针旋转90°，点A落在点P处，当点P在矩形ABCD外部时，连接PC，PD．若△DPC为直角三角形时，请你探究并直接写出BE的长．
更新时间：2022-04-18 19:52:10
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解答题-证明题
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(0.15)
名校
【推荐1】在平面直角坐标系中，已知
，
，
，且
，
交y轴于点E．
(1)如图1，若点C的横坐标为
，求证：
；
(2)如图2，若
平分
，点E的坐标为
，求点C的横坐标；
(3)如图3，若
，以
为边在的左侧作等边
，当
时，求
的长．
，，，且，交y轴于点E． (1)如图1，若点C的横坐标为
，求证：；(2)如图2，若
平分，点E的坐标为，求点C的横坐标；(3)如图3，若
，以为边在的左侧作等边，当时，求的长．
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解答题-作图题
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困难
(0.15)
【推荐2】在
中，
，
，
为边上一点，
为所在平面内一点，
，
(1)若
，点在外，连接
交于点
．
①如图1，
，为的中点，画出将
绕点
逆时针旋转
所得到的
，并直接写出
与
之间的数量关系；
②如图2，若
，试探究与之间的数量关系；
(2)如图3，若点在内，
与交于点
，
，直接用含
的式子表示
的值．
中，，，为边上一点，为所在平面内一点，，(1)若
，点在外，连接交于点．①如图1，
，为的中点，画出将绕点逆时针旋转所得到的，并直接写出与之间的数量关系；②如图2，若
，试探究与之间的数量关系；(2)如图3，若点
在内，与交于点，，直接用含的式子表示的值．
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解答题-证明题
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困难
(0.15)
【推荐3】探究：如图①，△ABC是等边三角形，在边AB、BC的延长线上截取BM=CN，连结MC、AN，延长MC交AN于点P．
（1）求证：△ACN≌△CBM；
（2）∠CPN= °；（给出求解过程）
（3）应用：将图①的△ABC分别改为正方形ABCD和正五边形ABCDE，如图②、③，在边AB、BC的延长线上截取BM=CN，连结MC、DN，延长MC交DN于点P，则图②中∠CPN= °；（直接写出答案）
（4）图③中∠CPN= °；（直接写出答案）
（5）拓展：若将图①的△ABC改为正n边形，其它条件不变，则∠CPN= °（用含n的代数式表示，直接写出答案）．
（1）求证：△ACN≌△CBM；
（2）∠CPN= °；（给出求解过程）
（3）应用：将图①的△ABC分别改为正方形ABCD和正五边形ABCDE，如图②、③，在边AB、BC的延长线上截取BM=CN，连结MC、DN，延长MC交DN于点P，则图②中∠CPN= °；（直接写出答案）
（4）图③中∠CPN= °；（直接写出答案）
（5）拓展：若将图①的△ABC改为正n边形，其它条件不变，则∠CPN= °（用含n的代数式表示，直接写出答案）．
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(0.15)
解题方法
【推荐1】如图，在平面直角坐标系中，抛物线
与x轴交于A，B两点．与y轴交于点C．且点A的坐标为
，点C的坐标为
．
(2)若点
是第一象限内抛物线上一动点，连接
，
，，设点的横坐标为
．
①当为何值时，
的面积最大，并求出最大面积；
②当为何值时，是直角三角形．
(3)若点
是抛物线上一点，点
是抛物线对称轴上一点，存在点使得以
，
，，为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点的坐标．
与x轴交于A，B两点．与y轴交于点C．且点A的坐标为，点C的坐标为．
(2)若点
是第一象限内抛物线上一动点，连接，，，设点的横坐标为．①当
为何值时，的面积最大，并求出最大面积；②当
为何值时，是直角三角形．(3)若点
是抛物线上一点，点是抛物线对称轴上一点，存在点使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点的坐标．
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(0.15)
【推荐2】抛物线
与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且点A的坐标为
，点C的坐标为
，对称轴为直线
．点D是抛物线上一个动点，设点D的横坐标为m，连接AC，BC，DC．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)若
，求m值．
(3)点F坐标为（0，2），连接AF，点P在直线AF上，点Q是平面上任意一点，当以A、C、P、Q四点为顶点的四边形为菱形时，直接写出Q坐标．
与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且点A的坐标为，点C的坐标为，对称轴为直线．点D是抛物线上一个动点，设点D的横坐标为m，连接AC，BC，DC．(1)求抛物线的函数表达式；
(2)若
，求m值．(3)点F坐标为（0，2），连接AF，点P在直线AF上，点Q是平面上任意一点，当以A、C、P、Q四点为顶点的四边形为菱形时，直接写出Q坐标．
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，抛物线
与
．
，
的值；
，抛物线与
的面积为
，
的面积为
，求
的最大值；
，点
上一点，点
为抛物线上一点，当
是等腰直角三角形时，请直接写出所有满足条件的点
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困难
(0.15)
【推荐1】如图1，在等腰
中，，点为的中点．点为
边上一点，连接
，过点作
于点，连接
．
(1)探究
与
间的数量关系，并证明；(2)若
，探究
与的关系，并证明；(3)如图2，延长
交于点
．若
，求
的值（用含有k的代数式表示）．
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困难
(0.15)
【推荐2】如图， 在平面直角坐标系中， 直线交两坐标轴于、两点，
，且
、
的长分别是一元二次方程
的两根 ．
(1)求
的值；
(2)以线段的长为边作正方形
（如 图所示） ，对角线、
交于点，
的平分线交于，求的长；
(3)若点是
轴上任一点， 点是坐标平面内一点， 若以、、、为顶点的四边形是菱形， 请直接写出点的坐标 ．
交两坐标轴于、两点，，且、的长分别是一元二次方程的两根 ．(1)求
的值；(2)以线段
的长为边作正方形（如 图所示） ，对角线、交于点，的平分线交于，求的长；(3)若点
是轴上任一点， 点是坐标平面内一点， 若以、、、为顶点的四边形是菱形， 请直接写出点的坐标 ．
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(0.15)
解题方法
【推荐3】已知在四边形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝2，AB＝4，BC＝6．
（1）如图1，P为AB边上一点，以PD，PC为边作平行四边形PCQD，过点Q作QH⊥BC，交BC的延长线于H．求证：△ADP≌△HCQ；
（2）若P为AB边上任意一点，延长PD到E，使DE＝PD，再以PE，PC为边作平行四边形PCQE．请问对角线PQ的长是否存在最小值？如果存在，请求出最小值；如果不存在，请说明理由．
（3）如图2，若P为DC边上任意一点，延长PA到E，使AE＝nPA（n为常数），以PE，PB为边作平行四边形PBQE．请探究对角线PQ的长是否也存在最小值？如果存在，请求出最小值；如果不存在，请说明理由．
（1）如图1，P为AB边上一点，以PD，PC为边作平行四边形PCQD，过点Q作QH⊥BC，交BC的延长线于H．求证：△ADP≌△HCQ；
（2）若P为AB边上任意一点，延长PD到E，使DE＝PD，再以PE，PC为边作平行四边形PCQE．请问对角线PQ的长是否存在最小值？如果存在，请求出最小值；如果不存在，请说明理由．
（3）如图2，若P为DC边上任意一点，延长PA到E，使AE＝nPA（n为常数），以PE，PB为边作平行四边形PBQE．请探究对角线PQ的长是否也存在最小值？如果存在，请求出最小值；如果不存在，请说明理由．
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(0.15)
【推荐1】在平面直角坐标系中，△AOB为直角三角形，点O（0，0），点A（0，3），点B在
轴的正半轴上，∠OAB=30°，点P为AB的中点．
(1)如图①，求点P的坐标；
(2)以点O为中心，顺时针旋转△AOP，得到△A1OP1，记旋转角为
（
），点A，P的对应点分别为A1，P1．
①如图②，线段OA1交线段AB于点M，线段OP1交线段AB于点N，当△OMN为等腰三角形时，求点A1的坐标；
②直线OA1交直线AB于点M，直线OP1交线段AB于点N，当△OMN为等腰三角形时，求的度数（直接写出结果即可）．
轴的正半轴上，∠OAB=30°，点P为AB的中点．(1)如图①，求点P的坐标；
(2)以点O为中心，顺时针旋转△AOP，得到△A1OP1，记旋转角为
（），点A，P的对应点分别为A1，P1．①如图②，线段OA1交线段AB于点M，线段OP1交线段AB于点N，当△OMN为等腰三角形时，求点A1的坐标；
②直线OA1交直线AB于点M，直线OP1交线段AB于点N，当△OMN为等腰三角形时，求
的度数（直接写出结果即可）．
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解答题-问答题
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困难
(0.15)
【推荐2】在平面直角坐标系
中，已知点
，A为坐标系中任意一点．现定义如下两种运动：P运动：将点A向右平移
个单位长度，再向上平移
个单位长度，得到点
，再将点绕点O逆时针旋转
，得到点
；
Q运动：将点A绕点O逆时针旋转，得到点
，再将点向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到点
．
(1)如图，已知点
，
，点A分别经过P运动与Q运动后，得到点，．
①若
，请你在下图中画出点，的位置；
，求m的值．
(2)已知
，点A，B分别经过P运动与Q运动后，得到点，与点
，
，连接
，
．若线段与存在公共点，请直接写出此时线段
长度的取值范围（用含有t的式子表示）．
中，已知点，A为坐标系中任意一点．现定义如下两种运动：P运动：将点A向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到点，再将点绕点O逆时针旋转，得到点；Q运动：将点A绕点O逆时针旋转
，得到点，再将点向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到点．(1)如图，已知点
，，点A分别经过P运动与Q运动后，得到点，．①若
，请你在下图中画出点，的位置；
，求m的值．(2)已知
，点A，B分别经过P运动与Q运动后，得到点，与点，，连接，．若线段与存在公共点，请直接写出此时线段长度的取值范围（用含有t的式子表示）．
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解答题-问答题
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困难
(0.15)
【推荐3】如图1，四边形为边长为8的正方形，
中，
且
．如图1所示放置，点与重合，在边上，
将
沿边方向平移，平移距离为个单位长度后，绕点逆时针旋转，旋转过程中点始终在四边形内部（含点落在正方形边上）．点
为
的中点且点到的距离为
．
，
，
，
(1)当
时，
旋转 度时，点到的距离最小，最小值为 ．
(2)如图2，当
时，经过旋转后，点落在边上，请求出此时点到边的距离（用含x的代数式表示）．
(3)如图3，当
时，经过旋转后，使点落在边上，求平移和旋转过程中边
扫过的面积，并直接写出此过程中d的取值范围．
(4)如图4，保持图1中
的形状不变，改变它的大小，使
，并将其沿边翻折后向下平移，使点与点重合，若将在正方形内部绕点逆时针方向旋转（顶点可以落在正方形的边上），请直接写出的d的最大值．
为边长为8的正方形，中，且．如图1所示放置，点与重合，在边上，将沿边方向平移，平移距离为个单位长度后，绕点逆时针旋转，旋转过程中点始终在四边形内部（含点落在正方形边上）．点为的中点且点到的距离为．，，， (1)当
时，旋转 度时，点到的距离最小，最小值为 ．(2)如图2，当
时，经过旋转后，点落在边上，请求出此时点到边的距离（用含x的代数式表示）．(3)如图3，当
时，经过旋转后，使点落在边上，求平移和旋转过程中边扫过的面积，并直接写出此过程中d的取值范围．(4)如图4，保持图1中
的形状不变，改变它的大小，使，并将其沿边翻折后向下平移，使点与点重合，若将在正方形内部绕点逆时针方向旋转（顶点可以落在正方形的边上），请直接写出的d的最大值．
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