【推荐1】如图，在矩形OABC中，点O为原点，边OA的长度为8，对角线AC=10，抛物线y=x²+bx+c经过点A、C，与AB交于点D．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）点P为线段BC上一个动点（不与点C重合），点Q为线段AC上一个动点，AQ=CP，连接PQ，设CP=m，△CPQ的面积为S．
①求S关于m的函数表达式并求出S最大时的m值；
②在S最大的情况下，在抛物线y=x²+bx+c的对称轴上，若存在点F，使△DFQ为直角三角形，请直接写出所有符合条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由．

【推荐2】如图1，抛物线与轴交于点，与直线交于点，过点作直线的平行线，交拋物线于点．

(1)求抛物线的表达式；
(2)点为直线下方抛物线上一点，过点作轴交直线于点，过点作于点，连接．求面积的最大值及此时点的坐标；
(3)如图2，在（2）问条件下，将原拋物线向右平移，再次经过（2）问条件下的点时，新拋物线与轴交于点（在左侧），与轴交于点．点为新拋物线上的一点，连接交直线于点，使得，写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程．

【推荐3】如图，抛物线与轴相交于，两点在的左侧，其中直线经过点且与轴相交于点．
   
(1)写出A点坐标          ；B点坐标          ；
(2)如图（1），在抛物线上存在点M(异于点B)，使得B，M两点到直线l的距离相等，求出所有满足条件的点M的横坐标；
(3)将线段AB先向右平移1个单位长度，再向下平移5个单位长度，得到线段PQ，若抛物线y=a(x²-2x-3)(a≠0)与线段PQ只有一个交点，请直接写出a的取值范围          ．

【推荐1】如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线y=- x² + 4x上，且横坐标为1，点B与点A关于抛物线的对称轴对称，直线AB与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点，点E的坐标为(1，1).

(1)求线段AB的长.
(2)点P为线段AB.上方抛物线上的任意一点，过点P作AB的垂线交AB于点H，点F为y轴上一点，当PBE的面积最大时，求PH + HF + FO的最小值.
(3)在(2)中，PH+HF+方FO取得最小值时，将CFH绕点C顺时针旋转60°后得到CF'H'，过点F'作CF'的垂线与直线AB交于点Q，点R为抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点S，使以点D，Q，R，S为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点S的坐标，若不存在，请说明理由.

【推荐2】某数学兴趣小组对线段上的动点问题进行探究，已知AB=8.
问题思考：
如图1，点P为线段AB上的一个动点，分别以AP、BP为边在同侧作正方形APDC与正方形PBFE.
（1）在点P运动时，这两个正方形面积之和是定值吗？如果是求出；若不是，求出这两个正方形面积之和的最小值.
（2）分别连接AD、DF、AF，AF交DP于点A，当点P运动时，在△APK、△ADK、△DFK中，是否存在两个面积始终相等的三角形？请说明理由.

问题拓展：
（3）如图2，以AB为边作正方形ABCD，动点P、Q在正方形ABCD的边上运动，且PQ=8.若点P从点A出发，沿A→B→C→D的线路，向D点运动，求点P从A到D的运动过程中，PQ的中点O所经过的路径的长．
(4)如图（3），在“问题思考”中，若点M、N是线段AB上的两点，且AM=BM=1，点G、H分别是边CD、EF的中点.请直接写出点P从M到N的运动过程中，GH的中点O所经过的路径的长及OM+OB的最小值.

【推荐3】如图1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，BD⊥DC，BC=10cm，CD=6cm．在线段BC、CD上有动点F、E，点F以每秒2cm的速度，在线段BC上从点B向点C匀速运动；同时点E以每秒1cm的速度，在线段CD上从点C向点D匀速运动．当点F到达点C时，点E同时停止运动．设点F运动的时间为t（秒）．
（1）求AD的长；
（2）设四边形BFED的面积为y，求y 关于t的函数关系式并写出自变量的取值范围
（3）当t为何的值时，以EE为半径的⊙F与CD边只有一个公共点．

【推荐1】如图，已知直线与轴，轴分别交于，两点，以为直角顶点在第二象限作等腰．
   
（1）求点的坐标，并求出直线的关系式；
（2）如图，直线交轴于，在直线上取一点，连接，若，求证：．
（3）如图，在（1）的条件下，直线交轴于点，是线段上一点，在轴上是否存在一点，使面积等于面积的一半？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

【推荐2】在中，．
（1）如图．分别过、两点作经过点的直线的垂线，垂足分别为、，求证：．

（2）如图，是边上一点，，，求的值．

（3）如图，是边延长线上一点，，，，，直接写出的值．

【推荐3】在直角三角形ABC中，，分别以AB、AC为边在外侧作等边和等边，DE交AB于点F，求证：.