【推荐2】如图，为圆的直径，弦，垂足为，过点作，垂足为，、相交于点．

   
(1)求证：；
(2)过点作，垂足为，为边中点，连接，求证：；
(3)在（2）的条件下，延长交于点，若，，求的长．

【推荐3】【问题提出】
（1）如图1，已知在边长为5的等边中，点D在边上，，连接，则的面积为             ；
【问题探究】
（2）如图2，已知在边长为6的正方形中，点E在边上，点F在边上，且，若，求的面积；
【问题解决】
（3）如图3是某座城市廷康大道的一部分，因自来水抢修在米，米的矩形区域内开挖一个的工作面，其中B、F分别在边上（不与B、C、D重合），且，为了减少对该路段的拥堵影响，要求面积最小，那么是否存在一个面积最小的？若存在，请求出面积的最小值；若不存在，请说明理由．

   

【推荐1】如图，在直角体系中,直线AB交x轴于点A(5,0),交y轴于点B,AO是⊙M的直径,其半圆交AB于点C,且AC=3.取BO的中点D,连接CD、MD和OC.
（1）求证：CD是⊙M的切线；
（2）二次函数的图象经过点D、M、A,其对称轴上有一动点P,连接PD、PM,求△PDM的周长最小时点P的坐标；
（3）在（2）的条件下,当△PDM的周长最小时,抛物线上是否存在点Q，使S_△PDM=6S_△QAM？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.

【推荐2】已知四边形是菱形，．

(1)如图1，是上一点，连接并延长，交的延长线于点，交于点，若，
①求的长；
②求的长；
(2)如图2，是的中点，连接，过点作交的延长线于点，点在上，连接，分别过点作直线的垂线，垂足分别为，若，求的长；
(3)如图3，为上一点，为上一点，，分别过点作的平行线，两条直线交于点，将四边形绕点顺时针旋转，如图4，直线交直线于点，求的值．

【推荐2】【定义】
例如，如图1，过点A作交于点B，线段的长度称为点A到的垂直距离，过A作平行于y轴交于点C，的长就是点A到的竖直距离．

【探索】
当与x轴平行时，，
当与x轴不平行，且直线确定的时候，点到直线的垂直距离与点到直线的竖直距离存在一定的数量关系，当直线为 时，___________．
【应用】
如图2所示，公园有一斜坡草坪，其倾斜角为，该斜坡上有一棵小树（垂直于水平面），树高，现给该草坪洒水，已知小树的底端点A与喷水口点O的距，建立如图2所示的平面直角坐标系，在喷水过程中，水运行的路线是抛物线，且恰好经过小树的顶端点B，最远处落在草坪的C处，
（1）___________．
（2）如图3，现决定在山上种另一棵树（垂直于水平面），树的最高点不能超过喷水路线，为了加固树，沿斜坡垂直的方向加一根支架，求出的最大值．
【拓展】
（3）如图4，原有斜坡不变，通过改造喷水枪，使得喷出的水的路径近似可以看成圆弧，此时，圆弧与y轴相切于点O，若此时m，如图，种植一棵树（垂直于水平面），为了保证灌溉，请求出最高应为多少？

【推荐3】我们不妨约定：对角线互相垂直的凸四边形叫做“十字形”．
（1）①在平行四边形，矩形，菱形、正方形中，一定是十字形的有           ；
②若凸四边形ABCD是十字形，AC＝a，BD＝b，则该四边形的面积为         ；
（2）如图1，以等腰Rt△ABC的底边AC为边作等边三角形△ACD，连接BD，交AC于点O， 当 ≤S _四边形≤ 时，求BD的取值范围；
（3）如图2，以十字形ABCD的对角线AC与BD为坐标轴，建立如图所示的平面直角坐标系xOy，若计 十字形ABCD的面积为S，记△AOB，△COD，△AOD，△BOC的面积分别为：S₁，S₂，S₃，S₄，且同时满足列四个条件：

① ；② ；③十字形ABCD的周长为32：④∠ABC＝60°； 若E为OA的中点，F为线段BO上一动点，连接EF，动点P从点E出发，以1cm/s 的速度沿线段EF匀速运动到点F，再以2cms 的速度沿线段FB匀速运动到点B，到达点B 后停止运动，当点P沿上述路线运动 到点B所需要的时间最短时，求点P走完全程所需的时间及直线EF的解析式．