【推荐1】如图，为的直径．点在圆上，是的平分线交于点，点在的延长线上，且．

(1)求证：是的切线；
(2)连接，若，，求的长．

【推荐2】如图，是的一条弦，，垂足为点C，交于点D，点E在上．
   
(1)若，求的度数；
(2)若，求的长．

【推荐1】如图，在中，，点O为边上一点，以为半径的⊙与相切于点D，分别交，边于点E，F．

(1)求证：平分；
(2)若，，求⊙的半径．

【推荐2】如图，在中，，平分交于点，过点和点的圆，圆心在线段上，交于点，交于点．

（1）判断与的位置关系，并说明理由；
（2）若，，求的长．

【推荐3】如图，是的直径，点D在上，连接，过点O作，交于点E，连接并延长，交的延长线于点C，过点B作的切线，交的延长线于点F．

   

(1)求证：；
(2)若，，求的长的长．

【推荐1】【初步发现】
如图，的内切圆与斜边相切于点D，与、相切于点E、F，，，求的面积．

解：设线段的长为x，
根据切线长定理，得，，，
在中，根据勾股定理，得，
整理，得，
所以
请同学们想一想，，的面积等于与的积．这仅仅是巧合吗？
【深入探索】
已知：如图，的内切圆与相切于点D，与、相切于点E、F，，．

（1）若，求证：的面积等于；
（2）若，求证：．
【拓展延伸】
（3）已知：的内切圆与、、相切于点D、E、F，，，．请直接写出的面积．

【推荐2】已知AB是⊙O的直径，AC，BC是⊙O的弦，OE是⊙O半径，OE⊥AC，垂足为H，连接BE．

(1)如图①，若∠BOE＝128°，求∠BAC和∠CBE的大小：
(2)如图②，过点B作⊙O的切线，与AC的延长线交于点D，若，求∠DBE的大小．

【推荐3】在平面直角坐标系中，O为原点，点，点，绕点B顺时针旋转，得，点A、O旋转后的对应点为，，记旋转角为．

(1)若，边OA上的一点M旋转后的对应点为N，
①如图1，当时，点N的坐标为______；
②如图2，分别连接，．当取得最小值时，求点N的坐标；
(2)如图3，若，求点的坐标；
(3)如图4，P为上一点，且，连接，，在绕点B顺时针旋转一周的过程中，设的面积为S，直接写出S的取值范围．