【推荐1】在正方形中，，分别为，上两点，连接，，将沿翻折，得到，连接，且．

(1)如图1，求证：；
(2)如图2，对角线交于点，连接，，若点落在上，求证：四边形为菱形；
(3)如图3，若为的中点，连接交于点，连接，，求的值．

【推荐3】综合与实践
【问题发现】
在学习了“特殊的四边形”后，数学兴趣小组的同学发现了这样一个问题：
如图1，已知正方形为对角线上一动点，过点作垂直于的射线，点在射线上，且，连接．
通过观察图形，数学兴趣小组的同学进行了如下猜想：
猜想①：；
猜想②：；
猜想③：点在上运动的过程中，四边形的面积不变．
根据上述猜想，兴趣小组的同学进行了证明，过程如下：
四边形是正方形，
，
，
，即．
．
．
又，
．
（依据：________）．
……
（1）上述证明过程中的依据是________，上述猜想中正确的有________（填序号）．
【类比探究】
（2）兴趣小组的同学在探究了正方形中的结论后，将正方形换成矩形继续探究．
如图，已知矩形，，为对角线上一动点，过点作垂直于的射线，点在射线上，且，连接．
①请判断线段与的数量关系，并说明理由．
②点在上运动时，四边形的面积是否改变？________．（填“不变”或“改变”）
【拓展应用】
（3）在（2）的条件下，若，点在上运动，当四边形为轴对称图形时，请直接写出线段的长．

【推荐2】如图，在矩形中，，，P为边上一点，连接，过点P作交于点Q，连接，当平分时：

(1)证明：；
(2)求线段的长；
(3)求四边形的面积；
(4)M为直线或直线上一点，在平面内是否存在点N，使以P，C，M，N为顶点的四边形为矩形？若存在，请直接写出的长度；若不存在，请说明理由．