【推荐1】如图1，在⊙O中，M为弦AB的中点，过点M作直径CD，E为线段OM上一点，连结AE并延长交⊙O于点F，连结BF，AE=BF．

(1)证明：AC＝BF．
(2)当时，求．
(3)如图2，连结CF交AB于点G，当CD＝2时，设EM＝x，，求y关于x的函数解析式，并确定y的最大值．

【推荐2】在平面直角坐标系xOy中，抛物线G：y＝x²﹣（m+n）x+mn（﹣4＜m＜0，n＞0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点P是抛物线G位于第三象限上的点，连接AC，PC．
(1)求A，B，C三点的坐标（用含m，n的代数式表示）；
(2)若存在点P，使得∠PCA＝2∠CAO，求的取值范围；
(3)连接OP，设AC交OP于点D，△PCD的面积为S₁，△OCD的面积为S₂，若的最大值是，求OB的最大值．

【推荐3】综合与实践
问题提出：
某兴趣小组开展综合实践活动．如图1，在矩形中，为对角线，是上一动点（不与点重合），过点作交于点，过点作交于点，连接与交于点．设的面积为．经探究发现是关于的二次函数，并绘制成如图2所示的图象，图2中点的横坐标为3，请根据图1和图2的信息回答问题．

初步感知：
（1）①图1中，的长为______，的长为______；
②求点的纵坐标的值；
（2）求关于的函数解析式及的最大值；
延伸探究：
（3）连接，请求出长度的最小值．

【推荐3】如图，点C是以为直径的半圆O上的动点，，连接，点D是上一动点，连接，且与相交于点F．过点C作与的延长线交于点E使得．

(1)求证：是的切线；
(2)当四边形是平行四边形时，判断形状，并说明理由；
(3)当点F为中点且时，求的长．

【推荐1】如图，抛物线与轴交于点（点在点左边），，其顶点为．将抛物线绕原点旋转得到抛物线，其顶点为．

   

(1)直接写出的值，点坐标，点坐标及抛物线的解析式；
(2)点是轴上一点，点是平面内一点，若以为顶点的四边形是以为边的矩形，求点坐标；
(3)如图，抛物线与轴交于，与轴交于点，点在第一象限的抛物线图象上，，交对称轴于，，分别交对称轴于，求值．