【推荐1】如图，在等腰中，两点分别是边上的动点，且，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，若，则线段长度的最小值为______．

【推荐2】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，则△ABC的外心和内心之间的距离为_____．

【推荐3】如图1是护眼学习台灯，该台灯的活动示意图如图2所示，灯柱，灯臂绕着支点可以旋转，灯罩呈圆弧形（即和），在转动过程中，总是与桌面平行．当时，，，测得，点在墙壁上，且；当灯臂转到位置时，，测得，则点到桌面的距离为_____．若此时点，，在同一条直线上，的最低点到桌面的距离为，则所在圆的半径为_____．
   

【推荐1】如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，E为AC边上的中点，连接BE交AD于F，将△AFE沿若AC翻折到△AGE，若四边形AFEG恰好为菱形，连接BG，则tan∠ABG=________．

【推荐2】如图，在中，以为边，在的下方作矩形，且使，连接，则的最大值为_______．

【推荐3】图1是某品牌电动单人沙发的实物图，图2是该沙发的主要功能介绍，其侧面示意图如图3．沙发通过开关控制，打开开关，靠背AB和脚托CD可分别绕点B，C旋转，在旋转过程中，．“某某”模式时，表示，如“看电视”模式时．已知沙发靠背AB长为，坐深长为，与地面水平线平行，脚托长为．现将该沙发放置于空旷的地面上，初始状态时，点D在地面上，，．脚拖正上方的点P处有一发光灯泡（点P，C，D在同一直线上，）．

（1）当沙发从初始位置调至“阅读”模式时，点D运动的路径长为________．
（2）将沙发从初始位置调至“听音乐”模式的过程中时，沙发侧面落在地面水平线上的最大影长为________．