通过类比联想，引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的，下面是一个案例，请补充完整．
原题：如图1，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，
，连接EF，试猜想EF、BE、DF之间的数量关系．
(1)思路梳理：把△ABE绕点A逆时针旋转
至△ADG，可使AB与AD重合，由
，得
，即点F、D、G共线，易证△AFG≌___，故EF、BE、DF之间的数量关系为___．
(2)类比引申：如图2，点E、F分别在正方形ABCD的边CB、DC的延长线上，，连接EF，试猜想EF、BE、DF之间的数量关系为___，并给出证明．
(3)联想拓展：如图3，在△ABC中，
，
，点D、E均在边BC上，且
，若
，
，请你求DE的长并直接写出AD长．
原题：如图1，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，
，连接EF，试猜想EF、BE、DF之间的数量关系．(1)思路梳理：把△ABE绕点A逆时针旋转
至△ADG，可使AB与AD重合，由，得，即点F、D、G共线，易证△AFG≌___，故EF、BE、DF之间的数量关系为___．(2)类比引申：如图2，点E、F分别在正方形ABCD的边CB、DC的延长线上，
，连接EF，试猜想EF、BE、DF之间的数量关系为___，并给出证明．(3)联想拓展：如图3，在△ABC中，
，，点D、E均在边BC上，且，若，，请你求DE的长并直接写出AD长．
更新时间：2022-06-14 10:34:48
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【推荐1】我们给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为“勾股四边形”，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边．如图在四边形ABCD中，∠B＝60°，∠D＝30°，AB＝BC．
(1)求∠A+∠C的度数；
(2)判断四边形ABCD是否“勾股四边形”，并说明理由．
(3)若AB＝1，直接写出对角线BD长度的最大值．
(1)求∠A+∠C的度数；
(2)判断四边形ABCD是否“勾股四边形”，并说明理由．
(3)若AB＝1，直接写出对角线BD长度的最大值．
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(0.4)
【推荐2】在边长为8的等边三角形
中，D为
的中点，E，F分别为
、
上任意一点，连接
，将线段绕点E顺时针旋转
得到线段
，连接
交于点N，连接
．
(1)如图1，点E与点C重合，且
的延长线过点B，证明：四边形
是菱形；
(2)如图2，的延长线交
于点M，当
时，求
的度数；
(3)如图3，E为的中点，连接
，H为直线上一动点，连接
，将
沿翻折至
所在平面内，得到
，连接
，直接写出线段长度的最小值．
中，D为的中点，E，F分别为、上任意一点，连接，将线段绕点E顺时针旋转得到线段，连接交于点N，连接． (1)如图1，点E与点C重合，且
的延长线过点B，证明：四边形是菱形；(2)如图2，
的延长线交于点M，当时，求的度数；(3)如图3，E为
的中点，连接，H为直线上一动点，连接，将沿翻折至所在平面内，得到，连接，直接写出线段长度的最小值．
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名校
【推荐3】【发现】（1）如图①，点A为线段外一动点，且
，
．我们发现当点A位于线段
的延长线上时，线段的长取得最大值，且最大值为______（用含有a，b的代数式表示）；
【探究】（2）如图②，点A为线段外一动点，分别以，为边向外作等边
和等边
，连接
，
．求证：
；
【应用】（3）如图②，当
，
时，线段的最大值为______；
【拓展】（4）如图③，在平面直角坐标系中，点B的坐标
，点C的坐标
，点A为线段外一动点，且
，以，为边向外作等腰直角
和等腰直角
，且
，
，
，则线段长的最大值为______．
外一动点，且，．我们发现当点A位于线段的延长线上时，线段的长取得最大值，且最大值为______（用含有a，b的代数式表示）；【探究】（2）如图②，点A为线段
外一动点，分别以，为边向外作等边和等边，连接，．求证：；【应用】（3）如图②，当
，时，线段的最大值为______；【拓展】（4）如图③，在平面直角坐标系中，点B的坐标
，点C的坐标，点A为线段外一动点，且，以，为边向外作等腰直角和等腰直角，且，，，则线段长的最大值为______．
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【推荐1】已知四边形ABCD是菱形，点F在CD上，点E在BC的延长线上，连接AE、BF交于点H，∠AHB＝∠ADC．
(1)如图1，当点F与点D重合时，求证：AE＝BF
(2)如图2，当点F不与点D重合时，（1）中结论是否成立？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由．
(3)在（2）的条件下，若AB＝13，CF＝11，BF＝20，求CE的长
(1)如图1，当点F与点D重合时，求证：AE＝BF
(2)如图2，当点F不与点D重合时，（1）中结论是否成立？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由．
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(0.4)
【推荐2】如图边长为1的正方形ABCD被两条与边平行的线段EF、GH分割为四个小矩形，EF与GH交于点P
（1）若AG=AE，证明：AF=AH；
（2）若矩形PFCH的面积，恰好是矩形AGPE面积的两倍，试确定
HAF的大小；
（3）若矩形EPHD的面积为
，求
的周长.
（1）若AG=AE，证明：AF=AH；
（2）若矩形PFCH的面积，恰好是矩形AGPE面积的两倍，试确定
HAF的大小；（3）若矩形EPHD的面积为
，求的周长.
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中，
，
，
，点
；过点
，交
从点
；当一个点停止运动时，另一个点也停止运动，连接
．设运动时间为
，解答下列问题：
为平行四边形？
？若存在，请说明理由，若存在，求出t的值．
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(0.4)
【推荐1】完成下列各题：
(1)【问题探究】如图（1）在正方形
中，
，点
为
上的点，
，连接，点
为上的点，过点作
交于点
，交于点
，则
的长度为_______．
(2)【类比迁移】如图（2）在矩形中，，
，连接，过的中点作
交于点，交于点，求的长度．
(3)【拓展应用】如图（3）李大爷家有一块平行四边形的菜地，测得米，
米，
，为了管理方便，李大爷沿着对角线开一条小路，过这小路的正中间，开了另一条垂直于它的小路（小路面积忽略不计），求新开出的小路的长度．
图（1） 图（2） 图（3）
(1)【问题探究】如图（1）在正方形
中，，点为上的点，，连接，点为上的点，过点作交于点，交于点，则的长度为_______．(2)【类比迁移】如图（2）在矩形
中，，，连接，过的中点作交于点，交于点，求的长度．(3)【拓展应用】如图（3）李大爷家有一块平行四边形
的菜地，测得米，米，，为了管理方便，李大爷沿着对角线开一条小路，过这小路的正中间，开了另一条垂直于它的小路（小路面积忽略不计），求新开出的小路的长度．
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较难
(0.4)
【推荐2】正方形在平面直角坐标系中的位置如图所示，
轴，与y轴交于点E，
，且
的长满足
．
(1)求点A的坐标；
(2)若
，
①求
面积；
②正方形的边
上是否存在点M，使
？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
在平面直角坐标系中的位置如图所示，轴，与y轴交于点E，，且的长满足．(1)求点A的坐标；
(2)若
，①求
面积；②正方形
的边上是否存在点M，使？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
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(0.4)
真题
【推荐3】【问题背景】
人教版八年级下册数学教材第63页“实验与探究”问题1如下：如图，正方形的对角线相交于点，点又是正方形
的一个顶点，而且这两个正方形的边长相等，无论正方形绕点怎样转动，两个正方形重叠部分的面积，总等于一个正方形面积的
.想一想，这是为什么？（此问题不需要作答）
九年级数学兴趣小组对上面的问题又进行了拓展探究、内容如下：正方形的对角线相交于点，点
落在线段
上，
（
为常数）．
（1）如图1，将
的直角顶点与点重合，两直角边分别与边，相交于点，.
①填空：
______；
②求证：
．（提示：借鉴解决【问题背景】的思路和方法，可直接证明
；也可过点分别作，的垂线构造全等三角形证明．请选择其中一种方法解答问题②．）
【类比探究】
（2）如图2，将图1中的
沿方向平移，判断
与
的数量关系（用含的式子表示），并说明理由．
【拓展运用】
（3）如图3，点在边上，
，延长
交边于点，若
，求的值．
人教版八年级下册数学教材第63页“实验与探究”问题1如下：如图，正方形
的对角线相交于点，点又是正方形的一个顶点，而且这两个正方形的边长相等，无论正方形绕点怎样转动，两个正方形重叠部分的面积，总等于一个正方形面积的.想一想，这是为什么？（此问题不需要作答）九年级数学兴趣小组对上面的问题又进行了拓展探究、内容如下：正方形
的对角线相交于点，点落在线段上，（为常数）．
（1）如图1，将
的直角顶点与点重合，两直角边分别与边，相交于点，.①填空：
______；②求证：
．（提示：借鉴解决【问题背景】的思路和方法，可直接证明；也可过点分别作，的垂线构造全等三角形证明．请选择其中一种方法解答问题②．）【类比探究】
（2）如图2，将图1中的
沿方向平移，判断与的数量关系（用含的式子表示），并说明理由．【拓展运用】
（3）如图3，点
在边上，，延长交边于点，若，求的值．
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较难
(0.4)
名校
【推荐1】已知
，点在射线
，
，点在射线
上运动，
为钝角，将线段绕点顺时针旋转
，得到线段
，连接
．
（1）如图，求证：
；
（2）点
在射线上，且
，点
为
的中点．
①如图，当
时，求证：
是等边三角形；
②如图，当
时，用含的代数式直接写出
的长．
，点在射线，，点在射线上运动，为钝角，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接．（1）如图，求证：
；（2）点
在射线上，且，点为的中点．①如图，当
时，求证：是等边三角形；②如图，当
时，用含的代数式直接写出的长．
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较难
(0.4)
【推荐2】等腰直角三角形
中，
，
，点为中点，
，垂足为，连接，点为线段中点，连接
，
，如图①．
(1)求证：
；
(2)将图①中的
绕点逆时针旋转，连接，点为线段中点，连接，，
，如图②．
①求证：，
；
②若
，求
的面积．
中，，，点为中点，，垂足为，连接，点为线段中点，连接，，如图①． (1)求证：
；(2)将图①中的
绕点逆时针旋转，连接，点为线段中点，连接，，，如图②．①求证：
，；②若
，求的面积．
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较难
(0.4)
【推荐3】在平面直角坐标系
中，对于点
，点
和直线
，点关于的对称点为点
，点是直线上一点．将线段
绕点逆时针旋转得到
，如果线段与直线有交点，称点是点关于直线和点的“旋交点”．
(1)若点的坐标为
，在点
，
，
中，是点关于轴和点的“旋交点”的是_______；
(2)若点的坐标是
，点、都在直线
上，点是点关于
轴和点的“旋交点”，求点的坐标；
(3)点在以
为对角线交点，边长为2的正方形（正方形的边与坐标轴平行）上，直线：
，若正方形上存在点是点关于直线和点的“旋交点”，直接写出
的取值范围．
中，对于点，点和直线，点关于的对称点为点，点是直线上一点．将线段绕点逆时针旋转得到，如果线段与直线有交点，称点是点关于直线和点的“旋交点”．(1)若点
的坐标为，在点，，中，是点关于轴和点的“旋交点”的是_______；(2)若点
的坐标是，点、都在直线上，点是点关于轴和点的“旋交点”，求点的坐标；(3)点
在以为对角线交点，边长为2的正方形（正方形的边与坐标轴平行）上，直线：，若正方形上存在点是点关于直线和点的“旋交点”，直接写出的取值范围．
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