【推荐1】如图，在中，，点O在斜边AB上，以O为圆心，OA为半径的圆切BC于点D，交AB、AC分别于点E、F，连结OD．

(1)求证：点D为的中点；
(2)若，，求的直径AE的长．

【推荐2】如图，在中，，与相切于点 D，分别与交于点E，点F，连接． _______ ．求证∶ _______；

(1)请从①为的直径，② 中选择一个作为条件，另一个作为结论，将题目补充完整（填写序号），并完成相应的证明过程．
我选择的条件是______，求证的结论是_________．证明过程如下：
(2)在（1）的前提下，若的半径为2，请直接写出图中阴影部分的面积．

【推荐3】如图1，是的直径，点在上，连接，D是的中点，，相交于点E．

(1)求证：；
(2)如图2，过点C作的切线与的延长线相交于点F．若，，求的长．

【推荐1】如图，内接于⊙O，交⊙O于点D，交于点E，交⊙O于点F，连接．

(1)求证：；
(2)若⊙O的半径为3，，求的长（结果保留π）．

【推荐2】如图，PA切⊙O于点A，PO交⊙O于点B，若⊙O半径为3，PA=，求弧AB的长.

【推荐3】如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，在平面直角坐标系中，的三个顶点，，均在格点上．

(1)将向下平移5个单位长度得到，画出，并写出点的坐标；
(2)画出绕点逆时针旋转后得到的，并写出点的坐标；
(3)在（2）的条件下，求的长．

【推荐1】如图，在中，分别是，的中点，，延长到点F，使得，连结．

（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，求菱形的面积．

【推荐2】如图，在梯形中，,,,,点为边上一动点，作⊥,垂足在边上，以点为圆心，为半径画圆，交射线于点.
（1）当圆过点时，求圆的半径；
（2）分别联结和，当时，以点为圆心，为半径的圆与圆相交，试求圆的半径的取值范围；
（3）将劣弧沿直线翻折交于点,试通过计算说明线段和的比值为定值，并求出次定值.

【推荐3】如图，已知在四边形ABCD中，ADBC，AB＝BC，对角线AC，BD交于点O，且OA＝OC，过点D作DE⊥BC，交BC的延长线于点E．

(1)求证：OD＝OB；
(2)求证：四边形ABCD是菱形；
(3)若sin∠CDE＝，CE＝1，求BD的长度．

【推荐1】如图①，中国古代的马车已经涉及很复杂的机械设计（相对于当时的生产力），包含大量零部件和工艺，所彰显的智慧让人拜服，如图②是马车的侧面示意图，为车轮的直径，过圆心的车架一端点着地时，地面与车轮相切于点，连接，．
   
(1)求证；
(2)若米，米，求车轮的半径．

【推荐2】（本题满分分）如图，在中，，以为直径的⊙与边交于点，点
为的中点，连接．

（）求证：是⊙的切线．
（）若，，求的长度．

【推荐3】如图，点B、C、D都在⊙O上，过C点作CA∥BD交OD的延长线于点A，连接BC，∠B=∠A=30°，BD=4．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）求由线段AC、AD与弧CD所围成的阴影部分的面积．（结果保留π）