【推荐2】在平面直角坐标中，边长为1的正方形OABC的两顶点A、C分别在y轴、x轴的正半轴上，点O在原点．现将正方形OABC绕O点顺时针旋转，当A点第一次落在直线y=x上时停止旋转．旋转过程中，AB边交直线y=x于点M，BC边交x轴于点N（如图1）．
（1）求边AB在旋转过程中所扫过的面积；
（2）设△MBN的周长为p，在旋转正方形OABC的过程中，p值是否有变化？请证明你的结论；
（3）设MN=m，当m为何值时△OMN的面积最小，最小值是多少？并直接写出此时△BMN内切圆的半径．

【推荐3】勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图1）后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．
（1）①请叙述勾股定理；
②勾股定理的证明，人们已经找到了400多种方法，请从下列几种常见的证明方法中任选一种来证明该定理；（以下图形均满足证明勾股定理所需的条件）
                
（2）①如图4、5、6，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形中面积关系满足的有_______个；
   
②如图7所示，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月形图案（图中阴影部分）的面积分别为，，直角三角形面积为，请判断，，的关系并证明；
   
（3）如果以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程就可以得到如图8所示的“勾股树”．在如图9所示的“勾股树”的某部分图形中，设大正方形的边长为定值，四个小正方形，，，的边长分别为，，，，已知，则当变化时，回答下列问题：（结果可用含的式子表示）
①_______；
②与的关系为_______，与的关系为_______．
          

【推荐2】在四边形中，点为边上一点，点为对角线上的一点，且．

（1）若四边形为正方形；
①如图1，请直接写出与的数量关系；
②将绕点逆时针旋转到图2所示的位置，连接、，猜想与的数量关系并说明理由；
（2）如图3，若四边形为矩形，，其它条件都不变，将绕点逆时针旋转得到△，连接，，请在图3中画出草图，并求出与的数量关系．

【推荐2】【性质探究】
如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE平分∠BAC，交BC于点E．作DF⊥AE于点H，分别交AB，AC于点F，G．
（1）判断△AFG的形状并说明理由．
（2）求证：BF=2OG．
【迁移应用】
（3）记△DGO的面积为S₁，△DBF的面积为S₂，当时，求的值．
【拓展延伸】
（4）若DF交射线AB于点F，【性质探究】中的其余条件不变，连结EF，当△BEF的面积为矩形ABCD面积的时，请直接写出tan∠BAE的值．

【推荐3】如图，是的外接圆，是的直径，．D是直径下方半圆上的一点，交于点．

(1)求的长：
(2)若，求的长；
(3)若，求的长．

【推荐3】若一条弧经过一个多边形相邻两边中点，并且该弧上所有点都在该多边形的内部或边上，则称该弧为此两边中点连线的EVA弧．例如，图1中，在△ABC中，D，E分别是△ABC两边的中点，如果上的所有点都在△ABC的内部或边上，则称为DE的一条EVA弧．
   
（1）如图2，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝4，D，E分别是BC，AC的中点，画出DE的最长的EVA弧，并直接写出此时的长；
（2）在平面直角坐标系中，已知点A（0，4），B（0，0），C（4t，0）（t＞0），在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点．
①若t＝1，求DE的EVA弧所在圆的圆心P的纵坐标m的取值范围；
②若在△ABC中存在一条DE的EVA弧，使得所在圆的圆心P在△ABC的内部或边上，直接写出t的取值范围．