【推荐1】【初步探究】
（1）把矩形纸片如图①折叠，当点B的对应点在的中点时，填空：       （“”或“”）．
【类比探究】
（2）如图②，当点B的对应点为上的任意一点时，请判断（1）中结论是否成立？如果成立，请写出证明过程；如果不成立，请说明理由．
【问题解决】
（3）在矩形中，，点E为中点，点P为线段上一个动点，连接，将沿折叠得到，连接，当为直角三角形时，的长为      ．

【推荐2】如图网格是由小正方形拼成，每个小正方形的边长都为1

(1)四边形ABCD的面积为_______，周长为___________________
(2)求证：∠BCD是直角
(3)若△BDE为直角三角形，则满足条件的格点E有______个（点E不与点C重合）

【推荐3】如图，是一个半圆形桥洞的截面示意图，圆心为O，直径是河底藏线，弦是水位线，米，于点E，此时测得．

(1)求的长；
(2)如图，阴影矩形是漂浮的箱子移出水面的截面图，若其长为10米，高为2米，当点E恰在中点时，

①画出半圆O最高点H，并直接写出点H到线段的距离；

②若该箱子随水面上升1米，请判断此木箱能否通过该桥洞．并说明理由．

【推荐1】已知抛物线：经过点、，且与轴交于、两点（点在点左侧）．
(1)求点、的坐标；
(2)判断的形状；
(3)把抛物线向左或向右平移，使平移后的抛物线与轴的一个交点为，是否存在以、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出抛物线的表达式及平移方式；若不存在，请说明理由．

【推荐2】如图18－2－9所示，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为A（3，1），B（2，4），△OAB是直角三角形吗？借助于网格，证明你的结论.

【推荐3】如图10，在中，D是的中点，交于点E，且．

(1)求证：；
(2)若，求的周长．

【推荐1】如图，在△ACB中，∠C＝90°，AB＝2BC，点O在边AB上，且，以O为圆心，OB长为半径的圆分别交AB，BC于D，E两点．

(1)求证：AC是⊙O的切线；
(2)判断由D，O，E及切点所构成的四边形的形状，并说明理由．

【推荐2】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB的中点，以CD为直径的⊙O交BC于点E，过点E作EF⊥AB于点F．
（1）判断EF所在直线与⊙O的位置关系，并说明理由．
（2）若∠B＝40°，⊙O的半径为6，求的长．（结果保留π）

【推荐3】如图，⊙O中，点A为弧BC中点，BD为直径，过A作APBC交DB的延长线于点P．
(1)求证：PA是⊙O的切线；
(2)若BC=2，AB=2，求sin∠ABD的值．

【推荐1】在四边形中，，，以点为圆心，长为半径作，连接，交于，

(1)试判断与的位置关系，并说明理由．
(2)若，求图中阴影部分的面积．

【推荐2】如图，的底边与相切，切点为C，且，与、分别交于D、E两点，D、E分别为、的中点．
   
(1)求的度数；
(2)若阴影部分的面积为，求的半径r．

【推荐3】如图，在中，，O为的中点，与相切于点D．

(1)试判断与的位置关系，并说明理由；
(2)求阴影部分的面积（结果保留）．