【推荐2】问题情境：
（1）数学活动课上，王老师提出一个问题：如图1，四边形是正方形，是上的任意一点，于点，交于点，则线段、、之间的数量关系是________．
建立模型：
（2）某数学小组小明同学受此启发，提出了如下问题：如图2，四边形是正方形，，是对角线上的点，，连接，．求证：四边形是菱形．
模型拓展：
（3）该数学小组的同学们在王老师的指导下大胆尝试，改变图形模型，发现并提出新的探究点：如图3，若正方形的边长为12，是对角线上的一点，过点作，交边于点，连接，交对角线于点，．求的值．

【推荐3】学习了《中心对称图形》后，阿中与茜茜对平行四边形进行了再次探究：

   

(1)阿中发现：命题“一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形”是个假命题，如何举反例说明呢？茜茜稍作思考说：“取一张如图1所示的等腰三角形纸片，其中，在边上取一点D（不是中点），连接，沿剪开纸片，重新拼接……”，
请你完成茜茜的举反例过程，画出相应的图形，并配以必要的说明；
(2)阿中进一步探究发现：“一组对边相等且一组对角是直角的四边形是矩形”，请你完成证明过程；
已知：如图2，四边形中，，，求证：四边形是矩形．
(3)茜茜发现折叠矩形可以得到菱形：如图3，将矩形折叠，使得A、C两点重合，点B落在点，折痕分别交边于E、F两点，交于O两点，则四边形是菱形．请在框图中补全茜茜的证明思路．
茜茜的证明思路

由折叠易知是的垂直平分线，可以先证①     ，得到②     ，又由，可得四边形是平行四边形，再由③     ，于是是菱形．

(4)茜茜给阿中出了一道思考题：“如图4，在矩形中，，，点E、F分别是边上的点，将矩形沿着直线折叠，使点A与矩形内部的点P重合，问的最小值是多少？”请聪明的你用矩形纸片操作探究一下，直接写出的最小值．

【推荐3】综合与实践：
   
问题情境：数学课上，老师让每个组准备了一张如图1所示的等腰三角形纸片（即），其中，，是边上的中线．老师要求各个小组结合所学的图形变化的知识展开数学．
探究
初步分析：（1）“勤学”小组发现图1中的与相等，请你证明这一结论；
操作探究：（2）“善思”小组将纸片沿剪开，然后保持不动，将从图1的位置开始运动．
①如图2，将绕点逆时针旋转得到，点，分别是，的对应点，连接.猜想线段与之间的数量关系与位置关系，并说明理由；
②如图3，将沿射线方向平移得到，点，，分别是，，的对应点．连接，交于点．
请从下面两题中任选一题作答．我选择______题．
A、当以，，为顶点的三角形是等腰三角形时，直接写出平移的距离．
B、当以，，为顶点的三角形是直角三角形时，直接写出平移的距离．

【推荐3】如图，在中，，O是斜边上一点，以O为圆心，以为半径的圆与边相切于D点，交于E点，F是下半圆弧上的中点，连结交于点G．已知．

(1)证明：．
(2)求的半径和的长．
(3)是上一点，连结，若直线与四边形的某一边所在的直线垂直，请求出所有满足条件时的的长．