【推荐1】如图，在矩形ABCD中，AD＝4，∠BAC＝30°，点O为对角线AC上的动点（不与A、C重合），以点O为圆心在AC下方作半径为2的半圆O，交AC于点E、F．

(1)直接写出AC的长 ；
(2)当半圆O过点A时，求半圆被AB边所截得的弓形的面积；
(3)若M为的中点，在半圆O移动的过程中，求BM的最小值；
(4)当半圆O与矩形ABCD的边相切时，直接写出AE的长 ．

【推荐1】问题提出
如图（），在和中，，，，点在内部，直线与交于点．线段，，之间存在怎样的数量关系？

问题探究
（）先将问题特殊化如图（），当点，重合时，易证（），请利用全等探究，，之间的数量关系（直接写出结果，不要求写出理由）；
（）再探究一般情形如图（），当点，不重合时，证明（）中的结论仍然成立．
问题拓展
（）如图（），在和中，，，（是常数），点在内部，直线与交于点．直接写出一个等式，表示，，之间的数量关系．

【推荐2】如图1：为直径，点在延长线上，点在上，且，连接、．

(1)求证：
(2)如图2，交于点，过点作弦，垂足为，交于点，求证：
(3)如图3，在（2）的条件下，作，垂足为，作，垂足为，交于，若，，求长．

【推荐1】综合与实践
[动手操作]任意一个四边形ABCD通过剪裁，都可以拼接成一个三角形，方法如下：
如图1，点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点．连结EH，点P是线段EH的中点，连结PF、PG．沿线段EH、PF、PG剪开，将四边形ABCD分成①、②、③、④四部分，按如图所示的方式即可拼成一个无缝隙也不重叠的三角形P′MN．
在拼接过程中用到的图形的变换有　 　
A．轴对称       B．平移     C．中心对称       D．位似

[性质探究]如图3，连结EF′、F′C′、C′H．判断四边形EF′C′H的形状，并说明理由．
[综合运用]若三角形P′MN是一个边长为4的正三角形，则四边形ABCD周长的最小值为_____．

【推荐2】y＝﹣2x+4直线交x轴于点A，交y轴于点B，抛物线y＝﹣（x﹣m）（x﹣6）（m＞0）经过点A，交x轴于另一点C，如图所示．
（1）求抛物线的解析式．
（2）设抛物线的顶点为D，连接BD，AD，CD，动点P在BD上以每秒2个单位长度的速度由点B向点D运动，同时动点Q在线段CA上以每秒3个单位长度的速度由点C向点A运动，当其中一个点到达终点停止运动时，另一个点也随之停止运动，设运动时间为t秒．PQ交线段AD于点E．
①当∠DPE＝∠CAD时，求t的值；
②过点E作EM⊥BD，垂足为点M，过点P作PN⊥BD交线段AB或AD于点N，当PN＝EM时，求t的值．

【推荐3】如图，在等边三角形ABC中，点D是射线CB上一动点，连接DA，将线段DA绕点D逆时针旋转60°得到线段DE，过点E作EF∥BC交直线AB于点F，连接CF．
（1）如图1，若点D为线段BC的中点，则四边形EDCF是　 　；
（2）如图2，若点D为线段CB延长线上任意一点，（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；
（3）若点D为射线CB上任意一点，当∠DAB＝15°，△ABC的边长为2时，请直接写出线段BD的长．

【推荐1】旋转与等腰直角三角形相结合，会产生很多美妙的数学结论，是训练几何探究思维很好的方式，麒麟中学八年级某数学兴趣小组做了以下操作探究，把共顶点的两个等腰直角三角形中的一个绕一点旋转一定角度，探究旋转过程中相关图形的几何特性：已知等腰直角三角形和等腰直角三角形有一个公共的顶点，且．

(1)如图1，与的数量关系为_____，位置关系为______；
(2)将 绕着点顺时针旋转角（）．
①如图2，第（1）问的结论是否仍然成立？请说明理由．
②若，，当绕着点顺时针旋转过程中，当点、、三点共线时，连接，则的长度为_______；
③如图3，若，绕着点顺时针旋转，当点在落在上时，有，延长交的延长线于点，做点关于的对称点，连接，求的长．

【推荐3】综合与实践
问题情境：如图①，，分别是中，上的两点，且，．
猜想证明：
（1）当时，将绕点逆时针旋转一定角度，如图②所示，连接，则与的数量关系是 　　，的度数是 　　．
（2）当时，将绕点逆时针旋转一定角度，如图③所示，连接，请写出与的数量关系与位置关系，并说明理由．
（3）当时，将绕点逆时针旋转，使得点落在的延长线上，如图④所示，试判断，，之间的数量关系，并加以证明．