【推荐1】数学兴趣小组在一次合作探究活动中，将两块大小不同的等腰直角和等腰直角，按如图1的方式摆放，，随后保持不动，将绕点按逆时针方向旋转，连接，，延长交于点，连接．该数学兴趣小组进行如下探究，请你帮忙解答：
   
(1)如图2，当时，则___________．
(2)如图3，当点，重合时，请写出，，之间的数量关系（不需要证明）．
(3)如图4，当点，不重合时，（2）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．

【推荐2】如图1，在和中，，，点D是线段上一动点，连接．

(1)填空：①的值为           ；②的度数为           ．
(2)类比探究：如图2，在和中，，，点D是线段上一动点，连接．请求出的值及的度数，并说明理由．
(3)拓展延伸：如图3，在和中，，，点D是线段上一动点，连接，P为中点．若，，在点D从A点运动到B点的过程中，请直接写出点P经过的路径长．

【推荐3】如图，平行四边形中，，点G是的中点，点E是边上的动点，的延长线与的延长线交于点F，连接．

(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)①直接写出：当　 　时，四边形是菱形（不需要说明理由）；
②当　 　时，四边形是矩形，请说明理由．

【推荐2】【课本再现】如图，四边形是正方形，点是边的中点，，且交正方形外角的平分线于点．
(1)
求证．（提示：取的中点，连接）；
(2)【类比迁移】如图2，若点是边上任意一点（不与，重合），其他条件不变，求证：；
(3)【拓展应用】在（2）的条件下，连接，过点作于，当时，如图3，请判断四边形的形状，并说明理由．

【推荐3】学习了“利用相似三角形测高”这一知识后，小辰和小辉所在数学兴趣小组的同学们周末带着测量工具去测量法门寺合十舍利塔的高度，他们的测量方法如下：如图2，小辰在点C处放置一平面镜，他从点C沿后退，当退行米到点E处时，恰好在镜子中看到塔顶A的像，此时小辉测得小辰眼睛到地面的距离米；然后小辰继续后退米到点G处，此时小辰眼睛的水平视线与舍利塔的顶端A所成的角度（即）是．已知点B，C，E，G在同一水平直线上，点D，F在同一水平直线上，且，，均垂直于，求合十舍利塔的高度．

   

【推荐1】如图，在矩形中，．
       
(1)在图1中，P是边上一点，垂直平分，分别交边于点E，F，求证：四边形是菱形；
(2)在图2中利用直尺和圆规作出面积最大的菱形，使得菱形的四个顶点都在矩形的边上，并求出该菱形的边长（保留作图痕迹，不写作法）．

【推荐2】已知，如图，把矩形纸片沿折叠后，点D与点B重合，点C落在点的位置上，连接．

（1）求证：四边形是菱形；
（2）当，时，求矩形的纸片的面积S．

【推荐3】如图，矩形中，点在上，，与相交于点．与相交于点．

(1)证明：；
(2)若，，求的长度．