【推荐1】如图，在中，，的平分线，分别与线段交于点，，与交于点．

（1）求证：，．
（2）若，，，求和的长度．

【推荐2】在一次数学探究活动中，小明用一根木棒把四边形分割成2个部分（如图1），经测量发现，，．

(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若点P为线段上的动点（点P不与点D重合），连接，过点P作交直线于点E．
①如图2，当点P为线段的中点时，请写出，之间的数量关系并说明理由；
②如图3，当点P在线段上时，请写出，，之间的数量关系并说明理由．

【推荐3】在中，为锐角，点M为射线上一动点，连接，以点C为直角顶点，以为直角边在右侧作等腰直角三角形，连接．

(1)如图1，图2，若为等腰直角三角形，
①问题初现：当点M为线段上不与点A重合的一个动点，求证：；
②深入探究：当点M在线段的延长线上时，判断线段之间的位置关系，并说明理由；
(2)如图3，，若当点M为线段上不与点A重合的一个动点，交线段于点P，且，当有最大值时，求的长．

【推荐2】如图1，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点A的坐标为，直线经过点、．将四边形绕点O按顺时针方向旋转α度得到四边形，此时直线、直线分别与直线相交于点P、Q．

(1)四边形的形状是　　，当时，的值是　　；
(2)①如图2，当四边形的顶点落在y轴正半轴上时，求的值；
②如图3，当四边形的顶点落在直线上时，求的面积；
(3)在四边形旋转过程中，当时，是否存在这样的点P和点Q，使得，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．