【推荐3】正方形ABCD的四个顶点都在上，点P是劣弧上一点（点P与点C，D不重合），连接PA，PD．

(1)如图1，求的度数．
(2)如图2，连接PB．在线段PB上取点M，使得，过点M作交PA于点N．记PA，PB与边CD交于点E，F．
①求证：．
②若，，求正方形ABCD的面积．

【推荐1】几何学的产生，源于人们对土地测量的需要，后来由实际问题抽象成为数学问题，初中数学常见的几何模型有很多，通过整理归纳，可以从这些基本模型中找到其所蕴含的规律．

【提出问题】
如图1，△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，∠ABC=∠ADE=90°，△ADE绕点A旋转，连接BD、EC，小明通过探究得到∠ABD与∠BCE的大小存在某种数量关系，具体探究过程如下．
(1)【探究问题】小明先将上述问题“特值化”，如图1，令AB=1，AD=，∠ABD=100°，则可证明△ABD和△ACE相似，进而可求得∠BCE的度数．请你帮助小明完成解答过程．
(2)【解决问题】将问题“一般化”，如图2，在△ADE绕点A旋转过程中，∠ABD与∠BCE满足的数量关系为        ．
(3)【拓展应用】如图3，过线段AB的端点B作射线，Rt△ADE的直角顶点D在射线BM上运动，连接BE，若AB=4，3AD=4DE，则BE的最小值为     ．

【推荐2】已知点、分别是正方形的边、上的点，，

(1)如图1，，点是边的中点，点是线段的中点，连接，求出线段的长度；
(2)如图2，连接、，点是线段的中点，连接，判断与之间的关系，并进行证明；
(3)如图3，，连接、，点是线段的中点，连接，点为的中点，点为的中点，连接，当点为的三等分点时，直接写出的长．

【推荐3】在中，，，点与点关于对称，过点作直线，交直线于，交直线于．

（1）在图1中补全图形，并写出与的数量关系______；
（2）当时，直接写出的度数______；
（3）当点在射线上移动（不与、、重合），连接，将线段绕顺时针旋转得到线段．
①求证：、、三点共线；
②用等式直接写出线段、、满足的数量关系（可用含的式子表示）

【推荐1】已知平行四边形中，，点P是对角线上一动点，作，射线交射线于点E，联结．

(1)如图1，当点E与点A重合时，证明：；
(2)如图2，点E在的延长线上，当时，求的长；
(3)当是以为底的等腰三角形时，求的长．

【推荐2】（1）如图1，和是等腰直角三角形，，点C在上，点D在线段延长线上，连接，．线段与的数量关系为______；
（2）如图2，将图1中的绕点O顺时针旋转（）第一问的结论是否仍然成立；如果成立，证明你的结论，若不成立，说明理由．
（3）如图3，若，点C是线段外一动点，，连接，
①若将绕点C逆时针旋转 得到，连接，则的最大值______；
②若以为斜边作，（B、C、D三点按顺时针排列），，连接，当时，直接写出的值．