【推荐1】如图1，在边长为3的等边中，点从点出发沿射线方向运动，速度为1个单位/秒，同时点从点出发，以相同的速度沿射线方向运动，过点作交射线于点，连接交射线于点．
（1）如图1，当时，求运动了多长时间？
（2）如图1，当点在线段（不考虑端点）上运动时，是否始终有？请说明理由；
（3）如图2，过点作，垂足为，当点在线段（不考虑端点）上时，的长始终等于的一半；如图3，当点运动到的延长线上时，的长是否发生变化？若改变，请说明理由；若不变，求出的长．
   

【推荐2】如图，已知，点D是BC上一点，．

图1                                                            图2

(1)如图1，若，，求证：
①
②
(2)如图2，请直接写出与之间满足什么数量关系时，总有成立．

【推荐3】如图，△ABC中，AB=AC，D、E分别是AB及AC延长线上的点，且BD=CE，连接DE交BC于点O．过点D作DH⊥BC，过E作EK⊥BC，垂足分别为H、K．
（1）求证：DH=EK；
（2）求证：DO=EO．

【推荐1】如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于点F，BD＝CD．

(1)求证：DE＝DF；
(2)判断△ABC的形状并证明．

【推荐2】在矩形中，E为边上一动点，连接．

(1)将沿翻折，使点B恰好落在对角线上的点F处，AE交于点G．
①如图①，若，求证：F为的中点；
②如图②，当，时，求的长．
(2)根据②所得数据，将矩形沿翻折，点C的对应点为，点D的对应点为，使点E，，D三点在一条直线上，如图③，求此时的长．

【推荐3】已知：如图，在△ABC中，BE⊥AC，CD⊥AB，BE＝CD．求证：AB＝AC．

【推荐1】如图，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．

(1)在我们学过：①平行四边形、②矩形、③菱形、④正方形，能称为垂美四边形的是           ；（只填序号）
(2)如图，垂美四边形的对角线交于点，求的长度．

【推荐2】（1）如图1，在中，，，垂足分别为E、F，求证：；
探究：（2）如图2，在中，AC、BD是两条对角线，则，请探究这个结论的正确性；
迁移：（3）如图3，AD是的中线，若，，，直接写出边长         ．

【推荐3】汉河冀之光广场是石家庄市民放风筝的场所之一，小明和小华在学习了“勾股定理”之后，进行了一次实践活动，操作如下：如图，测量风筝距地面高度米，水平距离米，小明身高米．若小明将风筝的线往回收1米，则风筝将沿方向下降多少米至点G？注：．

【推荐1】如图1，在平面直角坐标系中，长方形的顶点的坐标分别为，，，动点从出发，以每秒1个单位的速度沿射线方向移动，作关于直线的对称，设点 的运动时间为．

(1)当 时．
①点B的坐标是            ；
②如图2． 当点落在上时，求线段的长；
(2)若，直线与直线相交于点，
①作出对应的图形：
②运动的过程中的大小是否发生变化，并请说明理由．

【推荐2】完成下列各题：
   


(1)如图①，是的圆周角，为直径，平分交于点D，，则点D到直线的距离为______．
(2)【类比迁移】如图②，是的圆周角，为的弦，平分交于点D，过点D作，垂足为E，探索线段、之间的数量关系，并说明理由．
(3)【问题解决】如图③，四边形为的内接四边形，平分，，求线段的长．

【推荐3】知识铺垫
通过小学的学习我们知道：
①正方形的四条边都相等，四个角都是直角如在正方形中，，
．
②等腰三角形中相等的两条边所对的两个角也相等。如在中，如果，那么．
解决问题
如图1，在中，为锐角，点为射线上一点，连接，以为一边且在的右侧作正方形，解答下列问题：
(1)如果，
①如图2，当点在线段上时(与点不重合)，线段、之间的数量关系为__________，位置关系为__________．
②如图3，当点在线段的延长线上时，①中的结论是否仍然成立，并说明理由．
                           
拓展延伸
（2）如果，．点在线段上，当__________时，（点、不重合）．