【推荐1】综合与实践课上，老师证同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动．

(1)【操作判断】操作一：对折正方形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平；操作二：在上选一点P，沿折叠，使点A落在矩形内部点M处，把纸片展平，连接．当点M在上时，写出图1中的值：______．
(2)【迁移探究】将正方形纸片按照“操作判断”中的方式操作，并延长交于点Q，连接，改变点P在上的位置（点P不与点A、D重合），如图2，判断与的数量关系，并说明理由．
(3)【拓展应用】在“迁移探究”中，已知正方形纸片的边长为，当时，求的长．

【推荐2】如图1，在直角三角形纸片中，，，．
[数学活动]
将三角形纸片进行以下操作：第一步：折叠三角形纸片使点与点重合，得到折痕，然后展开铺平；第二步：将绕点顺时针方向旋转得到，点、的对应点分别是点、，直线与边交于点（点不与点重合），与边交于点N．
   
[数学思考]
(1)折痕的长为______；
(2)在绕点旋转的过程中，试判断与的数量关系，并证明你的结论；
[数学探究]
(3)如图2，在绕点旋转的过程中，当直线经过点时，求的长；
[问题延伸]
(4)如图3，若直角三角形纸片的两直角边，按上边数学活动的步骤操作，在点从点开始顺时针旋转的过程中，设与的重叠部分的面积为，求的最小值．小明在探究这个问题的过程中发现，当旋转角为和时，S的值比较小，你能在小明探究的基础上，求出S的最小值吗？请直接写出答案．

【推荐3】（1）发现：如图所示，在正方形中，为边上一点，将沿翻折到处，延长交边于点，求证：．
（2）探究：如图，在矩形中，为边上一点，且，．将沿翻折到处，延长交边于点，延长交边于点，且，直接写出的长．

【推荐1】综合与实践：
问题情境：
在数学综合与实践课上，张老师启示大家利用直线、线段以及点的运动变换进行探究活动．变换条件如下：如图 1，直线 AB，AC，BC 两两相交于 A，B，C 三点，得知△ABC是等边三角形，点 E 是直线 AC 上一动点（点 E 不与点 A，C 重合），点 F 在直线 BC上，连接 BE，EF，使 EF=BE．

独立思考：
（1）张老师首先提出了这样一个问题：如图 1，当E是线段 AC 的中点时，确定线段 AE与 CF 的数量关系，请你直接写出结论：AE____ CF（填“＞” “＜”或“=”）．
提出问题：
（2）“奋斗”小组受此问题的启发，提出问题：若点E是线段 AC 上的任意一点，其他条件不变，（1）中的结论是否成立？该小组认为结论仍然成立，理由如下：如图 2，过点 E作 ED∥BC，交 AB 于点 D．（请你补充完整证明过程）
拓展延伸：
（3）“缜密”小组提出的问题是：动点E的运动位置如图3，图4所示，其他条件不变，根据题意补全图形，并判断线段AE与CF的数量关系是否发生变化？ 请你选择其中一种予以证明．

     

（4）“爱心”小组提出的问题是：若等边△ABC 的边长为 ，AE=1，则BF 的长为__________．（请你直接写出结果）．

【推荐2】如图，梯形中，，，，，，点E为上一点，且，点F为上一动点，以为边作菱形，且点H落在边上，点G在梯形的内部或边上，设．
   
(1)直接写出的长与的度数．
(2)在点F运动过程中，是否存在某个x的值，使得四边形为正方形？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由．
(3)若菱形的顶点G恰好在边上，则求出此时x的值．
   

【推荐3】【教材呈现】华师版九年级上册数学教材第页的部分内容：
如图，在中，点、分别是，的中点，可以猜想：且．

请根据教材内容，结合图，写出证明过程．
【结论应用】
如图，在中垂直于的平分线于点，且交边于点，点为的中点．若，，求的长．
【拓展延伸】
如图，在中，，，，为中点，将绕点逆时针旋转一定的角度，得到线段，连结，取的中点，连结．则面积的最大值为______．

【推荐1】如图，是⊙的直径，是⊙的弦，平分，交⊙于点，过点作直线，交的延长线于点，交的延长线于点.

(1)求证:是⊙的切线;
(2)若，求的长.

【推荐3】如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝2，点E射线BC上一动点，△ABE关于AE的轴对称图形为△FAE．

(1)当点F在对角线AC上时，求FC的长；
(2)当△FCE是直角三角形时，求BE的长．

【推荐1】如图，在中，，将绕点A逆时针旋转，得到，使得点B、C、D恰好在同一条直线上，求的度数．

【推荐2】如图．已知为等腰直角三角形，，D、E分别为、上的两点，，连接，将绕点E逆时针旋转得，连接与交于点M．

(1)如图1，当时，若，求的长；
(2)如图2，连接，N为的中点，连接，求证：．

【推荐3】如图，四边形是正方形，E，F分别在直线，上，且，连接．
   
(1)当E，F分别在边，上时，如图1．请探究线段，，之间的数量关系，并写出证明过程；
(2)当E，F分别在，的延长线上时，如图2．试探究线段，，之间的数量关系，并证明．