【推荐1】如图，在中，，点P从点B出发沿线段移动，同时，点Q从点C出发沿线段的延长线移动，点P，Q移动的速度相同，与直线相交于点D．

(1)如图①，当点P为的中点时，求证：．
(2)如图②，过点P作直线的垂线，垂足为E，当P，Q在移动的过程中，线段，，中是否存在长度保持不变的线段？请说明理由．

【推荐2】如图所示，在矩形中，对角线的垂直平分线分别交于点，连接
   
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，求的长．

【推荐3】如图，在中，，是的平分线，于点E．

（1）求证：；
（2）若，求线段的长度．

【推荐1】如图，在△ABC中，分别以AB，AC，BC为一边，在BC的同侧作等边三角形ABD，ACE，BCF．

(1)求证：四边形DAEF是平行四边形；
(2)当△ABC满足什么条件时，四边形DAEF是矩形？是菱形？是正方形？

【推荐2】如图，在由边长为1的小正方形组成的5×6的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，请按要求解决下列问题：
（1）通过计算判断△ABC的形状；
（2）在图中确定一个格点D，连接AD、CD，使四边形ABCD为平行四边形，并求出▱ABCD的面积．

【推荐3】如图，P是中，边AB的中点，连接CP并延长，作于E，，交CP的延长线于点D．连接AE，BD．

(1)求证：四边形ADBE是平行四边形；
(2)若BE平分∠DBC，求：与四边形ADBE的面积之比．

【推荐1】如图，在中，，D是的中点，E是的中点，过点A作AF//BC交的延长线于点F．

(1)求证：；
(2)若，求四边形的面积．

【推荐2】如图（1）所示，一架长米的梯子斜靠在与地面垂直的墙壁上，梯子与地面所成的角为度.
（1）求图（1）中的与的长度;
（2）若梯子顶端沿下滑，同时底端沿向右滑行.
①如图（2）所示，设点下滑到点，点向右滑行到点，并且，请计算的长度;
②如图（3）所示，当点下滑到，点向右滑行到点时，梯子的中点也随之运动到点，若，试求的长度.

【推荐3】尺规作图：（要求保留作图痕迹，不要求写出作法）如图，已知线段，求作一个等腰直角三角形，使它的斜边等于．
   

【推荐1】如图，在四边形中，对角线与交于点O，已知，，过点O作，分别交、于点，，连接，．

(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，，，判断的形状，并求的长．

【推荐2】如图，在等腰梯形中，∥，点是线段上的一个动点（与、不重
合），分别是的中点．

（1）试探索四边形的形状，并说明理由.
（2）当点运动到什么位置时，四边形是菱形？并加以证明.
（3）若（2）中的菱形是正方形，请探索线段与线段的关系，并证明你的结论．

【推荐3】如图，矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线交AD、BC于点E、F，AC与EF交于点O，连结AF、CE．

（1）求证：四边形AFCE是菱形；
（2）若AB=3，AD=4，求菱形AFCE的边长．