【推荐1】如图，为线段外一点．

（1）过点作直线使得与交于点，且（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）的条件下，连接，，，，求证．

【推荐2】如图，是的直径，射线交交于点．

(1)尺规作图：求作的中点．（保留作图痕迹）
(2)过点画垂足为．若，，求的面积．

【推荐3】如图（1），凸四边形，如果点满足，且，则称点为四边形的一个半等角点．
（1）在图（2）正方形内画一个半等角点，且满足；
（2）在图（3）四边形中画出一个半等角点，保留画图痕迹（不需写出画法）．

【推荐1】已知，如图，是的直径，弦于点，点在上，恰好过圆心，连接．

(1)若，求的度数．
(2)若，求的半径．

【推荐2】如图1，在中，，，线段AB的垂直平分线交AC于点D，．

(1)求AC的长；
(2)如图2，点P是边AC上一动点（点P不与点A、D、C重合），，与AB相交于点Q，连接DB、DQ，设，与重叠部分的面积为S．
①求S关于x的函数解析式，并直接写出自变量x的取值范围；
②试问：当点P位于____________位置时与重叠部分的面积S最大，此时S的最大值是____________．

【推荐3】综合与实践
问题：如何将物品搬过直角过道？
情境：如图1是一直角过道示意图，、为直角顶点，过道宽度都是．矩形是某物品经过该过道时的俯视图，宽为．

步骤	动作	目标
1	靠边	将如图1中矩形的一边靠在上
2	推移	矩形沿方向推移一定距离，使点在边上
3	旋转	如图2，将矩形绕点旋转
4	推移	将矩形沿方向继续推移

操作：
探究：
(1)如图2，已知，．小明求得后，说：“，该物品能顺利通过直角过道”．你赞同小明的结论吗？请通过计算说明．
(2)如图3，物品转弯时被卡住（、分别在墙面与上），若，求的长．
(3)请直接写出过道可以通过的物品最大长度，即求的最大值　　　　　．（结果保留根号）

【推荐1】如图，由小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，且每个小正方形的边长为1．经过，，三个格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中按要求画图．（保留作图痕迹）
(1)在图中的圆中作出圆心和弧的中点；

(2)在图中的弧上找一点，使；

(3)在图中的弧上找一点，使；

【推荐2】如图是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．经过A，B、C三个格点，点D是与网格线的交点，仅用无刻度的直尺在给定网格中按要求画图（画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示）．
          
(1)在图1中，画圆心P，并画出弧的中点Q；
(2)在图2中，在上画点E，使；
(3)在图2中，在下方的半圆上，画弦，使．

【推荐3】如图，C，D是以AB为直径的半圆O的三等分点，连接CD，请仅用无刻度的直尺，按下列要求作图（保留作图痕迹）

(1)在图1中作弦CD的中点E；
(2)在图2中作半圆O的切线BF．

【推荐1】如图，是的直径，点C，D是上的点，且，分别与，相交于点E，F．
   
(1)求证：点D为弧的中点；
(2)若，，求的直径．

【推荐2】如图，是的直径，为上一点，为的中点，点在的延长线上，且．求证：是的切线．
   

【推荐3】如题，AB是⊙O的直径，在圆上取点C，延长BC到D，使BC=CD，连接AD交于⊙O于点E，过点C作CF⊥AD，垂足为F．

（1）求证：CF是⊙O的切线．
（2）若，，求CF的长．