已知：∠AOB＝60°．小亮在学习了角平分线的知识后，做了一个夹角为120°（即∠DPE＝120°）的角尺，来作∠AOB的角平分线．
(1)如图1，他先在边OA和OB上分别取OD＝OE，再移动角尺使PD＝PE，然后他就说射线OP是∠AOB的角平分线．试根据小亮的做法证明射线OP是∠AOB的角平分线；
(2)如图2，小亮在确认射线OP是∠AOB的角平分线后，想继续探究，于是将角尺绕点P旋转了一定的角度，他认为旋转后的线段PD和PE仍然相等．请问小亮的观点是否正确，为什么？
(3)如图3，在（2）的基础上，若角尺旋转后恰好使得DP
OB，请直接写出线段OD与OE的数量关系（不用说明理由）．
(1)如图1，他先在边OA和OB上分别取OD＝OE，再移动角尺使PD＝PE，然后他就说射线OP是∠AOB的角平分线．试根据小亮的做法证明射线OP是∠AOB的角平分线；
(2)如图2，小亮在确认射线OP是∠AOB的角平分线后，想继续探究，于是将角尺绕点P旋转了一定的角度，他认为旋转后的线段PD和PE仍然相等．请问小亮的观点是否正确，为什么？
(3)如图3，在（2）的基础上，若角尺旋转后恰好使得DP
OB，请直接写出线段OD与OE的数量关系（不用说明理由）．
更新时间：2022-10-09 15:43:27
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名校
【推荐1】在锐角△ABC中，∠B=45°，∠C=60°，AD⊥BC于点D．
(1)如图1，过点B作BG⊥AC于点G，求证：AC=BF；
(2)动点P从点D出发，沿射线DB运动，连接AP，过点A作AQ⊥AP，且满足
．
①如图2，当点P在线线段BD上时，连接PQ分别交AD、AC于点M、N．请问是否存在某一时刻使得△APM和△AQN成轴对称，若有，求此刻∠APD的大小；若没有，请说明理由．
②如图3，连接BQ，交直线AD与点F，当点P在线段BD上时，试猜想BP和DF的数量关系并证明；当点P在DB的延长线上时，若
，请直接写出
的值．
(1)如图1，过点B作BG⊥AC于点G，求证：AC=BF；
(2)动点P从点D出发，沿射线DB运动，连接AP，过点A作AQ⊥AP，且满足
．①如图2，当点P在线线段BD上时，连接PQ分别交AD、AC于点M、N．请问是否存在某一时刻使得△APM和△AQN成轴对称，若有，求此刻∠APD的大小；若没有，请说明理由．
②如图3，连接BQ，交直线AD与点F，当点P在线段BD上时，试猜想BP和DF的数量关系并证明；当点P在DB的延长线上时，若
，请直接写出的值．
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解题方法
【推荐2】问题：如图1，在
中，
，
，D为BC边上一点（不与点B．C重合），将线段AD绕点A逆时针旋转
得到AE，连接EC．
（1）求证：
；
（2）探索：如图2，在与
中，
，，
，将
绕点A旋转，使点D落在BC边上，试探索线段
、
、
之间满足的数量关系，并证明你的结论；
（3）应用：如图3，在四边形ABCD中，
，若
，
，求AD的长．
中，，，D为BC边上一点（不与点B．C重合），将线段AD绕点A逆时针旋转得到AE，连接EC． （1）求证：
；（2）探索：如图2，在
与中，，，，将绕点A旋转，使点D落在BC边上，试探索线段、、之间满足的数量关系，并证明你的结论；（3）应用：如图3，在四边形ABCD中，
，若，，求AD的长．
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中，斜边
，在射线
，使
.射线
上取一点
，使
，直线
、
，点
的对称点为
．
时，请你直接写出
的度数______；
时，请你直接写出
的长度______；
与
解答题-作图题
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较难
(0.4)
名校
【推荐1】在
中，
，点E是内一动点，连接
，将
绕点A顺时针旋转a，使
边与
重合，得到
，延长
与射线
交于点M（点M与点D不重合）．
（1）依题意补全图1；
（2）探究
与
的数量关系为___________；
（3）如图2，若
平分
，用等式表示线段
之间的数量关系，并证明．
中，，点E是内一动点，连接，将绕点A顺时针旋转a，使边与重合，得到，延长与射线交于点M（点M与点D不重合）．（1）依题意补全图1；
（2）探究
与的数量关系为___________；（3）如图2，若
平分，用等式表示线段之间的数量关系，并证明．
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较难
(0.4)
【推荐2】如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，过点A作⊙O的切线交BC的延长线于点P，D是
上的任意一点，连接AD，已知∠ABC＝30°．
（1）求证：AP＝AB．
（2）填空：
①当∠CAD＝ 时，四边形AODC是菱形；
②当∠CAD＝ 时，四边形ABDC是矩形．
上的任意一点，连接AD，已知∠ABC＝30°．（1）求证：AP＝AB．
（2）填空：
①当∠CAD＝ 时，四边形AODC是菱形；
②当∠CAD＝ 时，四边形ABDC是矩形．
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于点
，点
上（点
，
为边作等边三角形
和等边三角形
，直线
交直线
上，如图①，证明：
；
，
之间的数量关系，并证明你的猜想；
，
，请直接写出
