[问题情境]
在综合与实践课上，老师让同学们以“矩形纸片的剪拼”为主题开展数学活动．如图1，将矩形纸片ABCD沿对角线AC剪开，得到△ABC和△ACD．同学们量得AB=2cm，∠ACB=30°．
(1)[操作发现]
将图1中的△ACD以点A为旋转中心，按逆时针方向旋转∠α，使∠α=∠BAC，得到如图2所示的
，过点C作
的平行线，与
的延长线交于点E，则四边形
的形状是 （不用证明）；
(2)创新小组将图1中的△ACD以点A为旋转中心，按逆时针方向旋转，使B，A，D三点在同一条直线上，得到如图3所示的，连接
，取的中点F，连接AF并延长至点G，使FG=AF，连接OG、
，得到四边形
，请你判断四边形的形状，并证明你的结论；
(3)[实践探究]
缜密小组在创新小组发现结论的基础上，进行如下操作：将△ABC沿着BD向上平移，使点B与点A重合，此时A点平移至
点，
与
相交于点H，如图4，求
的长．
在综合与实践课上，老师让同学们以“矩形纸片的剪拼”为主题开展数学活动．如图1，将矩形纸片ABCD沿对角线AC剪开，得到△ABC和△ACD．同学们量得AB=2cm，∠ACB=30°．
(1)[操作发现]
将图1中的△ACD以点A为旋转中心，按逆时针方向旋转∠α，使∠α=∠BAC，得到如图2所示的
，过点C作的平行线，与的延长线交于点E，则四边形的形状是 （不用证明）；(2)创新小组将图1中的△ACD以点A为旋转中心，按逆时针方向旋转，使B，A，D三点在同一条直线上，得到如图3所示的
，连接，取的中点F，连接AF并延长至点G，使FG=AF，连接OG、，得到四边形，请你判断四边形的形状，并证明你的结论；(3)[实践探究]
缜密小组在创新小组发现结论的基础上，进行如下操作：将△ABC沿着BD向上平移，使点B与点A重合，此时A点平移至
点，与相交于点H，如图4，求的长．
更新时间：2022-10-13 08:44:02
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解答题-作图题
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较难
(0.4)
【推荐1】定义：有一组对角是直角的四边形叫做“准矩形”；有两组邻边（不重复）相等的四边形叫做“准菱形”．
如图①，在四边形
中，若
，则四边形是“准矩形”；
如图②，在四边形中，若
，
，则四边形是“准菱形”．和“准菱形”
．（要求：D、
在格点上）；
(2)下列说法正确的有 ；（填写所有正确结论的序号）
①一组对边平行的“准矩形”是矩形；②一组对边相等的“准矩形”是矩形；
③一组对边相等的“准菱形”是菱形；④一组对边平行的“准菱形”是菱形．
(3)如图⑤，在
中，
，以
为一边向外作“准菱形”
，且
，
，
、
交于点D；
①若
，求证：“准菱形”是菱形；
②在①的条件下，连接
，若
，
，
，请直接写出菱形的边长．
如图①，在四边形
中，若，则四边形是“准矩形”；如图②，在四边形
中，若，，则四边形是“准菱形”．
和“准菱形”．（要求：D、在格点上）；(2)下列说法正确的有 ；（填写所有正确结论的序号）
①一组对边平行的“准矩形”是矩形；②一组对边相等的“准矩形”是矩形；
③一组对边相等的“准菱形”是菱形；④一组对边平行的“准菱形”是菱形．
(3)如图⑤，在
中，，以为一边向外作“准菱形”，且，，、交于点D；①若
，求证：“准菱形”是菱形；②在①的条件下，连接
，若，，，请直接写出菱形的边长．
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解答题-证明题
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较难
(0.4)
【推荐2】综合与实践
【问题情境】
如图1，小华将矩形纸片先沿对角线折叠，展开后再折叠，使点
落在对角线上，点的对应点记为
，折痕与边
，
分别交于点
，
.
【活动猜想】
（1）如图2，当点与点
重合时，四边形
是哪种特殊的四边形？答： ．
【问题解决】
（2）如图3，当
，
，
时，求证：点，，
在同一条直线上．
【深入探究】
（3）如图4，当
与满足什么关系时，始终有
与对角线平行？请说明理由.
（4）在（3）的情形下，设与，
分别交于点
，
，试探究三条线段
，
，之间满足的等量关系，并说明理由．
【问题情境】
如图1，小华将矩形纸片
先沿对角线折叠，展开后再折叠，使点落在对角线上，点的对应点记为，折痕与边，分别交于点，.【活动猜想】
（1）如图2，当点
与点重合时，四边形是哪种特殊的四边形？答： ．【问题解决】
（2）如图3，当
，，时，求证：点，，在同一条直线上．【深入探究】
（3）如图4，当
与满足什么关系时，始终有与对角线平行？请说明理由.（4）在（3）的情形下，设
与，分别交于点，，试探究三条线段，，之间满足的等量关系，并说明理由．
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(0.4)
【推荐3】【阅读】
如图，点A是射线DM上的一个动点，以AD为边作四边形ABCD，且
，
，
，
，直线l经过点D，且与四边形的边BC或BA相交，设直线l与DC的夹角
，将四边形ABCD的直角
沿直线l折叠，点C落在点
处，点B落在点
处
设AD的长为m．
【理解】
若点与点A重合
如图
，则
，
；
【尝试】
当时，若点在四边形ABCD的边AB上如图
，求m的值；
若点恰为AB的中点如图
，求
的度数；
【探究】
作直线
，与直线AD交于点G，与直线AB交于点H，当
与
是一对相似的等腰三角形时，请直接写出及相对应的m值．
如图，点A是射线DM上的一个动点，以AD为边作四边形ABCD，且
，，，，直线l经过点D，且与四边形的边BC或BA相交，设直线l与DC的夹角，将四边形ABCD的直角沿直线l折叠，点C落在点处，点B落在点处设AD的长为m．【理解】
若点
与点A重合如图，则，；【尝试】
当时，若点在四边形ABCD的边AB上如图，求m的值；若点恰为AB的中点如图，求的度数；【探究】
作直线，与直线AD交于点G，与直线AB交于点H，当与是一对相似的等腰三角形时，请直接写出及相对应的m值．
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较难
(0.4)
解题方法
【推荐1】已知：如图①，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，AE⊥BD，垂足是E．点F是点E关于AB的对称点，连接AF、BF．
（2）若将△ABF沿着射线BD方向平移，设平移的距离为m（平移距离指点B沿BD方向所经过的线段长度）．当点F分别平移到线段AB、AD上时，直接写出相应的m的值．
（3）如图②，将△ABF绕点B顺时针旋转一个角α（0°＜α＜180°），记旋转中的△ABF为△A′BF′，在旋转过程中，设A′F′所在的直线与直线AD交于点P，与直线BD交于点Q．是否存在这样的P、Q两点，使△DPQ为等腰三角形？若存在，求出此时DQ的长；若不存在，请说明理由．
（2）若将△ABF沿着射线BD方向平移，设平移的距离为m（平移距离指点B沿BD方向所经过的线段长度）．当点F分别平移到线段AB、AD上时，直接写出相应的m的值．
（3）如图②，将△ABF绕点B顺时针旋转一个角α（0°＜α＜180°），记旋转中的△ABF为△A′BF′，在旋转过程中，设A′F′所在的直线与直线AD交于点P，与直线BD交于点Q．是否存在这样的P、Q两点，使△DPQ为等腰三角形？若存在，求出此时DQ的长；若不存在，请说明理由．
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解答题-问答题
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较难
(0.4)
【推荐2】如图
，在平面直角坐标系中，点A在
轴正半轴，到
轴的距离为
，点的坐标为
，点
在轴上点A的右侧，且
，过点作平行于轴的直线
，点是直线上的一个动点．在第一象限，且到轴的距离为．
①点的坐标为______；
②线段的长为______；
③如图，连接
、
、，平移线段，使A到的位置、到的位置，则点的坐标为______．
(2)平移图中的线段
，点始终在直线上，设点的纵坐标为
．
①在点运动的过程中，若线段与轴有一个交点，则点的纵坐标的取值范围是______．
②当三角形
的面积等于
时，求点的坐标．
，在平面直角坐标系中，点A在轴正半轴，到轴的距离为，点的坐标为，点在轴上点A的右侧，且，过点作平行于轴的直线，点是直线上的一个动点．
在第一象限，且到轴的距离为．①点
的坐标为______；②线段
的长为______；③如图
，连接、、，平移线段，使A到的位置、到的位置，则点的坐标为______．(2)平移图
中的线段，点始终在直线上，设点的纵坐标为．①在点
运动的过程中，若线段与轴有一个交点，则点的纵坐标的取值范围是______．②当三角形
的面积等于时，求点的坐标．
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，
于O点，且
，以OD为直径在OD的左侧作半圆E，
于A，且
．向右沿直线l平移
得到
，设平移距离为x．
经过点D，则平移的距离
______；
的长为
，求
的度数；
解答题-问答题
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较难
(0.4)
名校
【推荐1】已知：如图，在
中，
，将绕点
逆时针旋转一个角度
得到
，连接
．
(1)如图①，当
时，求证：
；
(2)如图②，当
时，点在的延长线上，延长
交于点，求
的度数；
(3)如图③，当
时，延长交于点，求证：点是线段的中点．
中，，将绕点逆时针旋转一个角度得到，连接．(1)如图①，当
时，求证：；(2)如图②，当
时，点在的延长线上，延长交于点，求的度数；(3)如图③，当
时，延长交于点，求证：点是线段的中点．
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解答题-证明题
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较难
(0.4)
名校
【推荐2】已知：线段，点C是线段的中点，点D在线段上，线段绕点C顺时针旋转 
得到线段，过B作 
交的延长线于点F，交直线
于点G．
，求
的度数(可以用α表示)；
(2)在（1）中补全图形中， 求与
的数量关系；
(3)在（1） 中补全图形中，用等式表示、
、的数量关系，并证明．
，点C是线段的中点，点D在线段上，线段绕点C顺时针旋转 得到线段，过B作 交的延长线于点F，交直线于点G．
，求的度数(可以用α表示)；(2)在（1）中补全图形中， 求
与的数量关系；(3)在（1） 中补全图形中，用等式表示
、、的数量关系，并证明．
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中
绕点
位置，点
，求证：
；
，
，求
，
．
