(1)特殊情景:如图(1),在四边形中,,以点A为顶点作一个角,角的两边分别交,于点E,F,且,连接,若,探究:线段之间的数量关系,并说明理由.
(2)类比猜想:类比特殊情景,在上述(1)条件下,把“”改成一般情况“”,如图(2),小明猜想:线段之间的数量关系是否仍然成立?若成立,请你证明结论;若不成立,请你写出成立时α的取值范围.
(3)解决问题:如图(3),在中,,,点D,E均在边上,且,若,计算的长度.
更新时间:2022-10-23 21:26:11
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名校
【推荐1】在中,,于点D,于点E,连接.
(1)如图1,当为锐角三角形时,
①依题意补全图形,猜想与之间的数量关系并证明;
②用等式表示线段,,的数量关系,并证明.
(2)如图2,当为钝角时,直接写出线段,,的数量关系.
(1)如图1,当为锐角三角形时,
①依题意补全图形,猜想与之间的数量关系并证明;
②用等式表示线段,,的数量关系,并证明.
(2)如图2,当为钝角时,直接写出线段,,的数量关系.
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解答题-证明题
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较难
(0.4)
【推荐2】如图1,在ABCD中,∠B=45°,过点C作CE⊥AD于点E,连接AC,过点D作DF⊥AC于点F,交CE于点G,连接EF.
(1)若DG=8,求对角线AC的长;
(2)求证:AF+FG=EF;
(3)如图2,点P是直线AB上一动点,过点A作AM⊥BC于点M,取线段AB的中点N,作点B关于直线PM的对称点,连接,若AB=10,请直接写出当取得最大值时PB的长.
(1)若DG=8,求对角线AC的长;
(2)求证:AF+FG=EF;
(3)如图2,点P是直线AB上一动点,过点A作AM⊥BC于点M,取线段AB的中点N,作点B关于直线PM的对称点,连接,若AB=10,请直接写出当取得最大值时PB的长.
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(0.4)
名校
【推荐1】如图1,在矩形中,,点E为射线上的一个动点,过点E作,连接,使,连接.
(1)求证:①;
②;
(2)如图2,若,,连接.
①若,求;
②当E点在射线上运动时,则的最小值为______.
(1)求证:①;
②;
(2)如图2,若,,连接.
①若,求;
②当E点在射线上运动时,则的最小值为______.
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【推荐2】在平面直角坐标系中,对于点和线段,我们定义点关于线段的线段比.
(1)已知点,,.
①点关于线段的线段比______;
②点关于线段的线段比______;
③点关于线段的线段比,求c的值.
(2)已知点,点,直线与坐标轴分别交于两点,若线段上存在点使得这一点关于线段的线段比,直接写出m的取值范围.
(1)已知点,,.
①点关于线段的线段比______;
②点关于线段的线段比______;
③点关于线段的线段比,求c的值.
(2)已知点,点,直线与坐标轴分别交于两点,若线段上存在点使得这一点关于线段的线段比,直接写出m的取值范围.
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【推荐3】综合与实践课上,老师证同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动.
(1)【操作判断】操作一:对折正方形纸片,使与重合,得到折痕,把纸片展平;操作二:在上选一点P,沿折叠,使点A落在矩形内部点M处,把纸片展平,连接.当点M在上时,写出图1中的值:______.
(2)【迁移探究】将正方形纸片按照“操作判断”中的方式操作,并延长交于点Q,连接,改变点P在上的位置(点P不与点A、D重合),如图2,判断与的数量关系,并说明理由.
(3)【拓展应用】在“迁移探究”中,已知正方形纸片的边长为,当时,求的长.
(1)【操作判断】操作一:对折正方形纸片,使与重合,得到折痕,把纸片展平;操作二:在上选一点P,沿折叠,使点A落在矩形内部点M处,把纸片展平,连接.当点M在上时,写出图1中的值:______.
(2)【迁移探究】将正方形纸片按照“操作判断”中的方式操作,并延长交于点Q,连接,改变点P在上的位置(点P不与点A、D重合),如图2,判断与的数量关系,并说明理由.
(3)【拓展应用】在“迁移探究”中,已知正方形纸片的边长为,当时,求的长.
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真题
解题方法
【推荐1】1643年,法国数学家费马曾提出一个著名的几何问题:给定不在同一条直线上的三个点A,B,C,求平面上到这三个点的距离之和最小的点的位置,意大利数学家和物理学家托里拆利给出了分析和证明,该点也被称为“费马点”或“托里拆利点”,该问题也被称为“将军巡营”问题.
(1)下面是该问题的一种常见的解决方法,请补充以下推理过程:(其中①处从“直角”和“等边”中选择填空,②处从“两点之间线段最短”和“三角形两边之和大于第三边”中选择填空,③处填写角度数,④处填写该三角形的某个顶点)
当的三个内角均小于时,
如图1,将绕,点C顺时针旋转得到,连接,
由 ② 可知,当B,P,,A在同一条直线上时,取最小值,如图2,最小值为,此时的P点为该三角形的“费马点”,且有 ③ ;
已知当有一个内角大于或等于时,“费马点”为该三角形的某个顶点.如图3,若,则该三角形的“费马点”为 ④ 点.
(2)如图4,在中,三个内角均小于,且,已知点P为的“费马点”,求的值;
(1)下面是该问题的一种常见的解决方法,请补充以下推理过程:(其中①处从“直角”和“等边”中选择填空,②处从“两点之间线段最短”和“三角形两边之和大于第三边”中选择填空,③处填写角度数,④处填写该三角形的某个顶点)
当的三个内角均小于时,
如图1,将绕,点C顺时针旋转得到,连接,
由,可知为 ① 三角形,故,又,故,
由 ② 可知,当B,P,,A在同一条直线上时,取最小值,如图2,最小值为,此时的P点为该三角形的“费马点”,且有 ③ ;
已知当有一个内角大于或等于时,“费马点”为该三角形的某个顶点.如图3,若,则该三角形的“费马点”为 ④ 点.
(2)如图4,在中,三个内角均小于,且,已知点P为的“费马点”,求的值;
(3)如图5,设村庄A,B,C的连线构成一个三角形,且已知.现欲建一中转站P沿直线向A,B,C三个村庄铺设电缆,已知由中转站P到村庄A,B,C的铺设成本分别为a元/,a元/,元/,选取合适的P的位置,可以使总的铺设成本最低为___________元.(结果用含a的式子表示)
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【推荐2】如图,和都是等腰直角三角形,.
(1)猜想:如图1,点在上,点在上,线段与的数量关系是_______,位置关系是______________;
(2)探究:把绕点旋转到如图2的位置,连接,,(1)中的结论还成立吗?说明理由;
(3)拓展:把绕点在平面内自由旋转,若,,当,,三点在同一直线上时,则的长是_______________.
(1)猜想:如图1,点在上,点在上,线段与的数量关系是_______,位置关系是______________;
(2)探究:把绕点旋转到如图2的位置,连接,,(1)中的结论还成立吗?说明理由;
(3)拓展:把绕点在平面内自由旋转,若,,当,,三点在同一直线上时,则的长是_______________.
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(0.4)
【推荐3】如图1,把一个含45°角的直角三角板ECF和一个正方形ABCD摆放在一起,使三角板的直角顶点和正方形的顶点C重合,点E、F分别在正方形的边CB、CD上,连AF 取AF的中点M,EF的中点N,连接MD、MN.
(1)请判断MD与MN之间的数量关系,直接写出结论;
(2)将图1中的直角三角板ECF绕点C顺时针旋转180°得到图2,其他条件不变,则(1)中的结论还成立吗?若成立,请加以证明;若不成立,请说明理由.
(3)连接DN,若AB=3,CE=2,将图1中的直角三角板ECF绕点C在平面内自由旋转,其他条件不变,请直接写出△DMN面积的最大值和最小值.
(1)请判断MD与MN之间的数量关系,直接写出结论;
(2)将图1中的直角三角板ECF绕点C顺时针旋转180°得到图2,其他条件不变,则(1)中的结论还成立吗?若成立,请加以证明;若不成立,请说明理由.
(3)连接DN,若AB=3,CE=2,将图1中的直角三角板ECF绕点C在平面内自由旋转,其他条件不变,请直接写出△DMN面积的最大值和最小值.
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