【推荐1】定义：我们把两条对角线互相垂直的四边形称为“垂美四边形”．

(1)特例感知：如图1，四边形ABCD是“垂美四边形”，如果，，，则______，______．
(2)猜想论证：如图1，如果四边形ABCD是“垂美四边形”，猜想它的两组对边AB，CD与BC，AD之间的数量关系并给予证明．
(3)拓展应用：如图2，分别以的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连接CE，BG，GE，已知，，求GE长．

【推荐3】
(1)【探究发现】如图1，在四边形中，对角线，垂足是O，则图中出现4个直角三角形，在中，，则有，据此探索与的值是否相等，并说明理由．
(2)【拓展迁移】如图2，以三角形的边为边向外作正方形和正方形，求证：．
(3)如图3，在（2）小题条件不变的情况下，连接GE，若，求的长．
   

【推荐1】问题背景：在一次数学兴趣小组活动中，小军对苏科版数学九年级教材第42页的第4题很感兴趣．教材原题：如图1，、是的高，M是的中点．点B、C、D、E是否在以点M为圆心的同一个圆上？为什么？
小军在完成此题解答后提出：如图2，若、的交点为点O，则点A、D、O、E四点也在同一个圆上．

（1）请对教材原题或小军提出的问题进行解答．（选择一个解答即可）
直接应用：   当大家将上述两题都解决后，组员小明想起了在七年级通过画图归纳出的一个结论：三角形的三条高所在直线交于同一点，可通过上面的结论加以解决．
（2）如图3，的两条高、相交于点O，连接并延长交于点F．
求证：为的边上的高．
拓展延伸：在大家完成讨论后，曾老师根据大家的研究提出一个问题：
（3）在（2）的条件下连接、、（如图4），设，则的度数为________．（用含α的式子表示）

【推荐2】如图，AB=3cm，BC=4cm， AF=12cm，AC⊥AF，正方形CDEF的面积是169cm²．点G是AC的中点，连接BG，求BG的长度.

【推荐3】矩形ABCD巾，点P在AD上，，．将直尺的顶点放在P处，直角尺的两边分别交AB，BC于点E，F，连接EF（如图①）．

(1)当点E与点B重合时，点F恰好与点C重合（如图②），求PC的长：
(2)探究：将直尺从图②中的位置开始，绕点P顺时针旋转，当点E和点A重合时停止，在这个过程中，请你观察、猜想，并解答：
①的值是否发生变化？请说明理由：
②求从开始到停止，线段EF的中点G经过的路线长．

【推荐1】[问题情境]
在综合与实践课上，老师让同学们以“矩形纸片的剪拼”为主题开展数学活动．如图1，将矩形纸片ABCD沿对角线AC剪开，得到△ABC和△ACD．同学们量得AB=2cm，∠ACB=30°．

(1)[操作发现]
将图1中的△ACD以点A为旋转中心，按逆时针方向旋转∠α，使∠α=∠BAC，得到如图2所示的，过点C作的平行线，与的延长线交于点E，则四边形的形状是       （不用证明）；
(2)创新小组将图1中的△ACD以点A为旋转中心，按逆时针方向旋转，使B，A，D三点在同一条直线上，得到如图3所示的，连接，取的中点F，连接AF并延长至点G，使FG=AF，连接OG、，得到四边形，请你判断四边形的形状，并证明你的结论；
(3)[实践探究]
缜密小组在创新小组发现结论的基础上，进行如下操作：将△ABC沿着BD向上平移，使点B与点A重合，此时A点平移至点，与相交于点H，如图4，求的长．

【推荐2】如图1，在平面直角坐标系中，，，现同时将点，分别向上平移个单位，再向右平移个单位，分别得到点，的对应点，，且点落在轴上，连接，．

   

(1)直接写出点、的坐标：　     　，　     　；
(2)如图1，若点在线段上，且，点以每秒个单位长度的速度从点沿轴正半轴向上运动，是否存在点，使得，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)如图2，已知，射线以的速度绕点顺时针旋转至停止，射线以的速度绕点顺时针旋转，射线、同时开始旋转，同时停止运动．在射线到达之前，会与射线交于点，过作交于，则在转动过程中，的值是否会改变，如果不变请求出这个定值；如果会变，请说明理由．

【推荐3】在平面直角坐标系中，如图1，将线段AB平移至线段CD，连接AC、BD．

（1）已知A（﹣3，0）、B（﹣2，﹣2），点C在y轴的正半轴上，点D在第一象限内，且三角形ACO的面积是6，求点C、D的坐标；
（2）如图2，在平面直角坐标系中，已知一定点M（1，0），两个动点E（a，2a+1）、F（b，﹣2b+3）．
①请你探索是否存在以两个动点E、F为端点的线段EF平行于线段OM且等于线段OM，若存在，求出点E、F两点的坐标；若不存在，请说明理由；
②当点E、F重合时，将该重合点记为点P，另当过点E、F的直线平行于x轴时，是否存在△PEF的面积为2？若存在，求出点E、F两点的坐标；若不存在，请说明理由．