【推荐1】综合与实践：
【提出问题】在学习特殊的平行四边形时，我们发现正方形的对角线等于边长的倍，某数学兴趣小组以此为方向对菱形的对角线和边长的数量关系探究发现，具体如下：如图1．

（1）四边形是菱形，
，， ，
，
又、，
______＋______，
化简整理得_______；
【类比探究】
（2）如图2，若四边形是平行四边形，请说明边长与对角线的数量关系；

【拓展应用】
（3）如图3，四边形为平行四边形，对角线相交于点，点为的中点，点为的中点，连接，若，，，直接写出的长度．

【推荐3】如图1，如图，已知直线经过、两点，若．

(1)求的值；
(2)如图2，若是线段上一点，将线段绕点顺时针旋转得到（即），此时点恰好落在直线上．
①求点和点的坐标；
②直线关于轴对称的直线交轴于点，若点在直线上，在直线上，是否存在以、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的点的坐标，若不存在，请说明理由．

【推荐1】在矩形中，E为射线上一点，于F，连接．

(1)如图，若E在线段上，且，求证：①；②；
(2)若，在点E的运动过程中，连接．
①当是以AB为底的等腰三角形时，求的长；
②当时，求的值．

【推荐2】四边形ABCD为矩形，G是BC上的任意一点，DE⊥AG于点E．

（1）如图1，若AB=BC，BF∥DE，且交AG于点F，求证：AF-BF=EF；
（2）如图2，在（1）条件下，AG=BG，求；
（3）如图3，连EC，若CG=CD，DE=2，GE=1，则CE=                ．（直接写出结果）

【推荐3】如图，正方形中，，点在边上，点关于直线的对称点为点，连接，，．

(1)当为边中点时，根据题意补全图形，并求的长；
(2)当为边上一点，，求的度数；
(3)过点作交的延长线于，判断与的位置关系，并说明理由．

【推荐1】如图，已知四边形为平行四边形，的平分线与相交于，与延长线相交于，过点分别作，的垂线，垂足为，．

(1)求证：为等腰三角形；
(2)如图1，连接，且．
①求证：：②若，，求的长．
(3)如图2，若，将线段绕点顺时针旋转至，连接、，请判断的形状，并说明理由．

【推荐2】定义：我们把一组对边平行另一组对边相等且不平行的四边形叫做等腰梯形．
【性质初探】如图1，已知，，，点是边上一点，连接，四边形恰为等腰梯形．求的度数；
【性质再探】如图2，已知四边形是矩形，以为一边作等腰梯形，，连接、．求证：；
【拓展应用】如图3，的对角线、交于点，，，过点作的垂线交的延长线于点，连接．若，求的长．

   

【推荐3】在中，BE平分交AD于点E．

（1）如图1，若，，求的面积；
（2）如图2，过点A作，交DC的延长线于点F，分别交BE，BC于点G，H，且．求证：．

【推荐1】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
（1）如图1，△ABC中，若AB=5，AC=3，求BC边上的中线AD的取值范围．
小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：
延长AD到E，使得DE=AD，再连接BE（或将△ACD绕点D逆时针旋转180°得到△EBD），把AB、AC、2AD集中在△ABE中，利用三角形的三边关系可得2＜AE＜8，则1＜AD＜4．

感悟：解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑构造以中点为对称中心的中心对称图形或全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中．
（2）问题解决：
受到（1）的启发，请你证明下面命题：如图2，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF．
①求证：BE+CF＞EF；②若∠A=90°，探索线段BE、CF、EF之间的等量关系，并加以证明；
（3）问题拓展：
如图3，在四边形ABDC中，∠B+∠C=180°，DB=DC，∠BDC=120°，以D为顶点作∠EDF为60°角，角的两边分别交AB、AC于E、F两点，连接EF，探索线段BE、CF、EF之间的数量关系，并加以证明．

【推荐2】如图，在等腰直角中，，，为边上一点，连接，于点．

   

(1)如图1，过B作交的延长线于点若，，求的长度；
(2)如图2，将绕点逆时针旋转到，连接交于点，猜想和之间存在的数量关系，并证明你的猜想；
(3)如图3，在第（2）问的条件下，将沿着翻折得到，连接，当线段取得最大值，请直接写出的值．

【推荐3】如图，直线与x轴、y轴分别交于B、C两点，经过B、C两点的抛物线与x轴交于另一点A，线段BC与抛物线的对称轴l相交于点D，设抛物线的顶点为P，连接AD，线段AD与y轴相交于点E．

（1）求该抛物线的解析式及对称轴；
（2）连结AP，请在y轴正半轴上找一点Q，使Q、C、D为顶点的三角形与△ADP全等，并求出点Q的坐标．将∠CED绕点E顺时针旋转，边EC旋转后与线段BC相交于点M，边ED旋转后与对称轴l相交于点N，若2DM=DN，求点M的坐标．