【推荐1】如图，是等边三角形，，点F是的平分线上一动点，将线段绕点A顺时针方向旋转得到，连接、．
   
(1)尺规作图：在的上方找点D，使得且；
(2)在（1）的条件下，连接．
①求证：；
②求证：是等边三角形；
③当是等腰三角形时，求的长度？

【推荐2】“等弧”的探究．
【初步研究】
（1）如图①，，分别是，的弦，，，求证：．

【深入研究】
（2）如图②，在中，，是以A为圆心且与相切的弧，在的内部（包含边界）存在，使，且点M，分别在边，上．
①在图②中，用直尺和圆规作出一条（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）；
②若，，则满足条件的所在圆的圆心轨迹的长度为_____．
【解决问题】
（3）如图③，折扇完全打开后，、的夹角为，长为，为了装饰折扇，现需从四边形丝绸材料中剪出，使，且为了节约材料，与边，均相切，已知，，，请在图中用直尺和圆规作出满足条件的．（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）

【推荐2】课本再现
（1）在圆周角和圆心角的学习中，我们知道了：圆内接四边形的对角互补．课本中先从四边形一条对角线为直径的特殊情况来论证其正确性，再从对角线是非直径的一般情形进一步论证其正确性，这种数学思维方法称为“由特殊到一般”
如图1，四边形为的内接四边形，为直径，则__________度，__________度．
（2）如果的内接四边形的对角线不是的直径，如图2、图3，请选择一个图形证明：圆内接四边形的对角互补．
知识运用
（3）如图4，等腰三角形的腰是的直径，底边和另一条腰分别与交于点．点是线段的中点，连接，求证：是的切线．