【推荐1】如图，在下面直角坐标系中，已知，，三点，其中，，满足关系式．

（1）求，，的值；
（2）如果在第二象限内有一点，请用含的式子表示四边形的面积；
（3）在（2）的条件下，是否存在点，使四边形的面积与三角形的面积相等？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由．

【推荐2】如图，在平面直角坐标系中，轴，轴，且，，，动点从点出发，沿路线向点运动；动点从点出发，沿路线向点运动．两点同时出发，其中一点到达终点时，运动停止．连接，其中不垂直于轴．

   

(1)直接写出两点的坐标；
(2)点开始运动后，，，三者之间存在何种数量关系，请说明理由；
(3)若动点分别以每秒和每秒的速度运动，则运动时间为多少秒时，三角形的面积为．

【推荐1】如图，在平面直角坐标系xOy中，点O为坐标原点，直线y＝－x＋4与x轴交于点A，与y轴交于点B.
(1)求点A，B的坐标；
(2)在直线AB上是否存在点P，使△OAP是以OA为底边的等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)若将Rt△AOB折叠，使OB边落在AB上，点O与点D重合，折痕为BC，求点C的坐标．
(4)直接写出折痕BC所在直线的表达式．

【推荐2】把和按如图1摆放（点与点重合），点，（），在同一条直线上．，，，，．如图2，从图1的位置出发，以的速度沿射线向匀速移动，在移动的同时，点从的顶点出发，以的速度沿向点匀速移动．设与相交于点，连接，设移动时间为（），当的顶点移动到边上时，停止移动，点也随之停止移动．

（1）用含的代数式表示线段，；
（2）当点恰好落在线段的垂直平分线上时，求此时的值；
（3）若将动点的速度改变为，其它条件都保持不变，是否可能在某个时刻使得成为线段的垂直平分线？若存在，求出该时刻并求出的值；若不存在，请说明理由．

【推荐3】如图，在中，∠A=90°，是的中点，过点的直线、交直线、于点、，且，连接．

（1）如图1，求证：；
（2）如图2，若，，，请直接写出线段的长度．（不必写过程）

【推荐1】如图1，在四边形中，，点E是边上一点，，，连接、，可知此时是等腰直角三角形．

(1)如图2，在长方形中，点P是边上一点，在边、上分别作出点E、F，使得点F、E、P是一个等腰直角三角形的三个顶点，且，．要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法．
【问题探究】
(2)如图3，在平面直角坐标系中，已知点，点，点C在第一象限内，若是等腰直角三角形，则点C的坐标？
【问题解决】
(3)如图4，在平面直角坐标系中，已知点，点C是y轴上的动点，线段绕着点C按逆时针方向旋转至线段，，连接、，则的最小值．

【推荐3】 如图，在平面直角坐标系中，点M，N的坐标分别为，，在x轴的负半轴上有一点A，且满足，连接，．

(1)求直线的函数表达式．
(2)将线段沿y轴方向平移至，连接，．
①当线段向下平移2个单位长度时（如图所示），求的面积；
②当时，求点的坐标．

【推荐1】如图，是的直径，与是弦，且．
求证：；
如果点是由圆上运动到圆外，过圆心．如图，是否仍有？为什么？
如图，如果点由圆上运动到圆内呢？

【推荐2】问题初探】：（1）如图①，在中，点D、E分别在边上，连接．若，则的长为         ；
【问题深入】：（2）如图②，在扇形中，点C是上一动点，连接求四边形的面积的最大值；
【拓展应用】：（3）为进一步促进西安市文化和旅游高质量发展，推动全市文明旅游创建工作，结合2023年陕西省文明旅游示范单位申报工作，一并开展2023年西安市文明旅游示范单位评选工作．某地为参加评选积极改善环境，拟建一个四边形休闲广场，其大致示意图如图③所示，其中，米．点E处设立一个自动售货机，点E是的中点，连接，与交于点M，连接，沿修建一条石子小路（宽度不计），将和进行绿化．根据设计要求，．为倡导绿色新风尚，现要使绿化的面积尽可能的大，请问和的面积之和是否存在最大值？若存在，请求出和面积之和的最大值；若不存在，请说明理由．

【推荐3】在正方形ABCD中，动点E，F分别从D，C两点同时出发，以相同的速度在直线DC，CB上移动．
（1）如图1，当点E在边DC上自D向C移动，同时点F在边CB上自C向B移动时，连接AE和DF交于点P，请你写出AE与DF的数量关系和位置关系，并说明理由；
（2）如图2，当E，F分别在边CD，BC的延长线上移动时，连接AE，DF，（1）中的结论还成立吗？（请你直接回答“是”或“否”，不需证明）；连接AC，请你直接写出△ACE为等腰三角形时CE：CD的值；
（3）如图3，当E，F分别在直线DC，CB上移动时，连接AE和DF交于点P，由于点E，F的移动，使得点P也随之运动，请你画出点P运动路径的草图．若AD＝2，试求出线段CP的最大值．