【问题提出】:将长方形的长上随机设置29个点,宽上随机设置19个点(不含长方形的各顶点A、B、C、D,且相对的边点的位置相同),如图连接各边对应的点,则图中一共有多少个长方形(包括正方形)?
【问题探究】:为解决上面的问题,我们将采取一般问题特殊化的策略,先从简单和具体的情形入手:
(1)探究一:将一条线段上随机设置n个点,图中一共可以形成多少条线段?
如图1,当n=0时,图中线段有:线段AB,共1条线段;
如图2,当n=1时,以A为端点的线段有:线段AC和线段AB,共2条线段;以C为端点的有:线段CB,共1条线段,故图中共有
条线段;
如图3,当n=2时,以A为端点的线段有:线段AC,线段AD和线段AB,共3条线段;以C为端点的有:线段CD和线段CB,共2条线段;以D为端点的有:线段DB,共1条线段,故图中共有
条线段;
……
小结:当随机设置了n个点后,一共可以形成 条线段.(用含n的代数式表示)
(2)探究二:将长方形的长上随机设置m个点,宽上随机设置n个点,则一共有多少个长方形(包括正方形)?
首先我们先探究宽上不设置点的情况.
如图4﹣1,当
,
时,图中一共有1个长方形.
如图4﹣2,当
,
时,图中一共有3个长方形.
如图4﹣3,当
,
时,图中一共有6个长方形.
……
小结:当长方形的长上随机设置m个点,宽上不设置点,一共有 个长方形.(用含m的代数式表示)
同理,当长方形的长上不设置点,宽上随机设置n个点,一共有 个长方形.(用含n的代数式表示)
如图5﹣1,当
,
时,长上共形成3条线段,宽上共形成3条线段,图中一共有9个长方形(包括正方形).
如图5﹣2,当
,
时,长上共形成3条线段,宽上共形成6条线段,图中一共有18个长方形(包括正方形).
如图5﹣3,当
,
时,长上共形成6条线段,宽上共形成3条线段,图中一共有18个长方形(包括正方形).
如图5﹣4,当
,
时,长上共形成6条线段,宽上共形成6条线段,图中一共有36个长方形(包括正方形).
……
小结:将长方形的长上随机设置m个点,宽上随机设置n个点,连接各边对应的点,则图中一共有 个长方形(包括正方形).(用含m、n的代数式表示)
【问题解决】:将长方形的长上随机设置29个点,宽上随机设置19个点(不含长方形的各顶点A、B、C、D,且相对的边点的位置相同),如图连接各边对应的点,则图中一共有 个长方形(包括正方形).(直接写出最后计算结果)
![](https://img.xkw.com/dksih/QBM/2023/1/3/3144606001324032/3145751205691392/STEM/2edb87cc12fc4915a60ebb7528707f8a.png?resizew=194)
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【问题探究】:为解决上面的问题,我们将采取一般问题特殊化的策略,先从简单和具体的情形入手:
(1)探究一:将一条线段上随机设置n个点,图中一共可以形成多少条线段?
如图1,当n=0时,图中线段有:线段AB,共1条线段;
如图2,当n=1时,以A为端点的线段有:线段AC和线段AB,共2条线段;以C为端点的有:线段CB,共1条线段,故图中共有
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/de6797efe1525d934df05b364bd9767b.png)
如图3,当n=2时,以A为端点的线段有:线段AC,线段AD和线段AB,共3条线段;以C为端点的有:线段CD和线段CB,共2条线段;以D为端点的有:线段DB,共1条线段,故图中共有
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……
小结:当随机设置了n个点后,一共可以形成 条线段.(用含n的代数式表示)
(2)探究二:将长方形的长上随机设置m个点,宽上随机设置n个点,则一共有多少个长方形(包括正方形)?
首先我们先探究宽上不设置点的情况.
如图4﹣1,当
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如图4﹣2,当
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/cf0086b054ef120408acac806a1b1318.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/dfd09fb9482124fd35f19b86894648f4.png)
如图4﹣3,当
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/e94f16d5ed858699bfea5039a7bf8ae6.png)
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……
小结:当长方形的长上随机设置m个点,宽上不设置点,一共有 个长方形.(用含m的代数式表示)
同理,当长方形的长上不设置点,宽上随机设置n个点,一共有 个长方形.(用含n的代数式表示)
如图5﹣1,当
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![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/c87b351f16728b0023fd63678f8103c7.png)
如图5﹣2,当
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如图5﹣3,当
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如图5﹣4,当
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……
小结:将长方形的长上随机设置m个点,宽上随机设置n个点,连接各边对应的点,则图中一共有 个长方形(包括正方形).(用含m、n的代数式表示)
【问题解决】:将长方形的长上随机设置29个点,宽上随机设置19个点(不含长方形的各顶点A、B、C、D,且相对的边点的位置相同),如图连接各边对应的点,则图中一共有 个长方形(包括正方形).(直接写出最后计算结果)
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更新时间:2023-01-04 21:10:07
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(1)若每次都把左上角的正方形依次划分下去,则第100次划分后,图中共有 个正方形;
(2)继续划分下去,第几次划分后能有805个正方形?写出计算过程.
(3)按这种方法能否将正方形ABCD划分成有2015个正方形的图形?如果能,请算出是第几次划分,如果不能,需说明理由.
(4)如果设原正方形的边长为1,通过不断地分割该面积为1的正方形,并把数量关系和几何图形巧妙地结合起来,可以很容易得到一些计算结果,试着探究求出下面表达式的结果吧.
计算
.( 直接写出答案即可)
第1次划分:分别连接正方形ABCD对边的中点(如图2),得线段HF和EG,它们交于点M,此时图2中共有5个正方形;
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(1)若每次都把左上角的正方形依次划分下去,则第100次划分后,图中共有 个正方形;
(2)继续划分下去,第几次划分后能有805个正方形?写出计算过程.
(3)按这种方法能否将正方形ABCD划分成有2015个正方形的图形?如果能,请算出是第几次划分,如果不能,需说明理由.
(4)如果设原正方形的边长为1,通过不断地分割该面积为1的正方形,并把数量关系和几何图形巧妙地结合起来,可以很容易得到一些计算结果,试着探究求出下面表达式的结果吧.
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(Ⅰ)当
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时,S的值为______;
(Ⅱ)每条“边”有n个点时的总点数S是______(用含n的式子表示);
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(Ⅱ)每条“边”有n个点时的总点数S是______(用含n的式子表示);
(Ⅲ)当
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/76c7867969b14fd642147188b6ebf29c.png)
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