25. 【问题提出】:将长方形的长上随机设置29个点,宽上随机设置19个点(不含长方形的各顶点
A、
B、
C、
D,且相对的边点的位置相同),如图连接各边对应的点,则图中一共有多少个长方形(包括正方形)?
【问题探究】:为解决上面的问题,我们将采取一般问题特殊化的策略,先从简单和具体的情形入手:
(1)探究一:将一条线段上随机设置
n个点,图中一共可以形成多少条线段?
如图1,当
n=0时,图中线段有:线段
AB,共1条线段;
如图2,当
n=1时,以
A为端点的线段有:线段
AC和线段
AB,共2条线段;以
C为端点的有:线段
CB,共1条线段,故图中共有
条线段;
如图3,当
n=2时,以
A为端点的线段有:线段
AC,线段
AD和线段
AB,共3条线段;以
C为端点的有:线段
CD和线段
CB,共2条线段;以
D为端点的有:线段
DB,共1条线段,故图中共有
条线段;
……
小结:当随机设置了
n个点后,一共可以形成
条线段.(用含
n的代数式表示)
(2)探究二:将长方形的长上随机设置
m个点,宽上随机设置
n个点,则一共有多少个长方形(包括正方形)?
首先我们先探究宽上不设置点的情况.
如图4﹣1,当
,
时,图中一共有1个长方形.
如图4﹣2,当
,
时,图中一共有3个长方形.
如图4﹣3,当
,
时,图中一共有6个长方形.
……
小结:当长方形的长上随机设置
m个点,宽上不设置点,一共有
个长方形.(用含
m的代数式表示)
同理,当长方形的长上不设置点,宽上随机设置
n个点,一共有
个长方形.(用含
n的代数式表示)
如图5﹣1,当
,
时,长上共形成3条线段,宽上共形成3条线段,图中一共有9个长方形(包括正方形).
如图5﹣2,当
,
时,长上共形成3条线段,宽上共形成6条线段,图中一共有18个长方形(包括正方形).
如图5﹣3,当
,
时,长上共形成6条线段,宽上共形成3条线段,图中一共有18个长方形(包括正方形).
如图5﹣4,当
,
时,长上共形成6条线段,宽上共形成6条线段,图中一共有36个长方形(包括正方形).
……
小结:将长方形的长上随机设置
m个点,宽上随机设置
n个点,连接各边对应的点,则图中一共有
个长方形(包括正方形).(用含
m、
n的代数式表示)
【问题解决】:将长方形的长上随机设置29个点,宽上随机设置19个点(不含长方形的各顶点
A、
B、
C、
D,且相对的边点的位置相同),如图连接各边对应的点,则图中一共有
个长方形(包括正方形).(直接写出最后计算结果)