数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起来一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．
【阅读】
表示3与1的差的绝对值，也可理解为3与1两数在数轴上所对应的两点之间的距离；
可以看做
，表示3与
的差的绝对值，也可理解为3与两数在数轴上所对应的两点之间的距离．
【探索】
(1)数轴上表示4和
的两点之间的距离是______（写出最后的结果），表示a与b的两点之间的距离为______．
(2)①若
，则x可以看做数轴上到表示的点的距离为3的点所表示的数，可以得
______．再试一试，若
，那么______．
②若使x所表示的点到表示3和的点的距离之和为5，符合条件的x有______个，符合条件的整数x分别为______．
③
的最小值为______．
【拓展】
(3)若
，______．
【阅读】
表示3与1的差的绝对值，也可理解为3与1两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看做，表示3与的差的绝对值，也可理解为3与两数在数轴上所对应的两点之间的距离．【探索】
(1)数轴上表示4和
的两点之间的距离是______（写出最后的结果），表示a与b的两点之间的距离为______．(2)①若
，则x可以看做数轴上到表示的点的距离为3的点所表示的数，可以得______．再试一试，若，那么______．②若使x所表示的点到表示3和
的点的距离之和为5，符合条件的x有______个，符合条件的整数x分别为______．③
的最小值为______．【拓展】
(3)若
，______．
更新时间：2023-01-06 19:24:34
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【推荐1】定义：对于数轴上的三点，若其中一个点与其它两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“关联点”．例如，数轴上点A，B，C所表示的数分别为1，3，4，此时点B是点A，C的“关联点”．
(1)若点A表示数0，点B表示的数3，数0，1，2，4所对应的点分别
，
，
，
，其中是点A，B的“关联点”的是___________
(2)点M表示数
，点N表示数6，点P从点N出发在数轴上以3个单位每秒的
速度运动．
①若点P从点N向右侧运动，当点P是点M，N的“关联点”时，点P的运动时间为___________秒
②若点P从点N向左侧运动，当点P，M，N中，有一个点恰好是其它两个点的“关联点”时，求出此时点P的运动时间．
(1)若点A表示数0，点B表示的数3，数0，1，2，4所对应的点分别
，，，，其中是点A，B的“关联点”的是___________(2)点M表示数
，点N表示数6，点P从点N出发在数轴上以3个单位每秒的速度运动．
①若点P从点N向右侧运动，当点P是点M，N的“关联点”时，点P的运动时间为___________秒
②若点P从点N向左侧运动，当点P，M，N中，有一个点恰好是其它两个点的“关联点”时，求出此时点P的运动时间．
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(0.4)
名校
【推荐2】在数轴上，
为原点，点
，
对应的数分别是
，
，
为线段
的中点．给出如下定义：若
，则称是的“正比点”；若
，则称是的“反比点”．例如
，
时，是的“正比点”； ，
时，是的“反比点”．
(1)若
，则M对应的数为_______，下列说法正确的是______（填序号）．
①A是M的“正比点”；②A是M的“反比点”；③B是M的“正比点”；④B是M的“反比点”．
(2)若
，且是的“正比点”，求
的值；
(3)若
，且M既是A，B其中一点的“正比点”，又是另一点的“反比点”，直接写出的值．
为原点，点，对应的数分别是，，为线段的中点．给出如下定义：若，则称是的“正比点”；若，则称是的“反比点”．例如，时，是的“正比点”； ，时，是的“反比点”．(1)若
，则M对应的数为_______，下列说法正确的是______（填序号）．①A是M的“正比点”；②A是M的“反比点”；③B是M的“正比点”；④B是M的“反比点”．
(2)若
，且是的“正比点”，求的值；(3)若
，且M既是A，B其中一点的“正比点”，又是另一点的“反比点”，直接写出的值．
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(0.4)
【推荐3】如图1，数轴上，O点与C点对应的数分别是0，
单位：单位长度
，将一根质地均匀的直尺AB放在数轴上
在B的左边，若将直尺在数轴上水平移动，当A点移动到B点的位置时，B点与C点重合，当B点移动到A点的位置时，A点与O点重合．
请直接写出直尺的长为______个单位长度；
如图2，直尺AB在数轴上移动，有
，求此时A点所对应的数；
如图3，以OC为边搭一个横截面为长方形的不透明的篷子，将直尺放入篷内的数轴上的某处
看不到直尺的任何部分，A在B的左边，将直尺AB沿数轴以4个单位长度
秒的速度分别向左、右移动，直到完全看到直尺，所经历的时间分别为
、
，若
秒，求直尺放入篷内时，A点所对应的数为多少？
单位：单位长度，将一根质地均匀的直尺AB放在数轴上在B的左边，若将直尺在数轴上水平移动，当A点移动到B点的位置时，B点与C点重合，当B点移动到A点的位置时，A点与O点重合．请直接写出直尺的长为______个单位长度；如图2，直尺AB在数轴上移动，有，求此时A点所对应的数；如图3，以OC为边搭一个横截面为长方形的不透明的篷子，将直尺放入篷内的数轴上的某处看不到直尺的任何部分，A在B的左边，将直尺AB沿数轴以4个单位长度秒的速度分别向左、右移动，直到完全看到直尺，所经历的时间分别为、，若秒，求直尺放入篷内时，A点所对应的数为多少？
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【推荐1】如图1，给定一个正方形，要通过裁剪将其分割成若干个互不重叠的正方形．第1次裁剪分割成4个互不重叠的正方形，得到图2，称之为1个基本操作；第2次裁剪分割成7个互不重叠的正方形，得到图3，称之为2个基本操作……以后每次只在上次得到图形的左上角的正方形中裁剪．
（1）5个基本操作后，共裁剪成______个正方形；100个基本操作后，共裁剪成______个正方形；
（2）经过若干次基本操作后，能否得到2021个互不重叠的正方形？若能，求出是几个基本操作后得到的；若不能，请说明理由．
（1）5个基本操作后，共裁剪成______个正方形；100个基本操作后，共裁剪成______个正方形；
（2）经过若干次基本操作后，能否得到2021个互不重叠的正方形？若能，求出是几个基本操作后得到的；若不能，请说明理由．
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(0.4)
【推荐2】根据结论完成下列问题：
结论：数轴上两点之间的距离等于相应两数差的绝对值．
问题：
（1）数轴上表示3和7的两点之间的距离是 ；数轴上表示-3和-8的两点之间的距离是 ；数轴上表示3和-8的两点之间的距离是 ．
（2）数轴上表示x和-3的两点A和B之间的距离是 ； 如果|AB|=5，那么x为 ．
（3）当代数式|x+2|+|x-1|取最小值时，相应的整数x的值是 ．
（4）数轴上如果A点和B点表示的数分别是10和-20，在数轴上求一点C，使得|AC|+|BC|=45，则C表示的数是多少？
结论：数轴上两点之间的距离等于相应两数差的绝对值．
问题：
（1）数轴上表示3和7的两点之间的距离是 ；数轴上表示-3和-8的两点之间的距离是 ；数轴上表示3和-8的两点之间的距离是 ．
（2）数轴上表示x和-3的两点A和B之间的距离是 ； 如果|AB|=5，那么x为 ．
（3）当代数式|x+2|+|x-1|取最小值时，相应的整数x的值是 ．
（4）数轴上如果A点和B点表示的数分别是10和-20，在数轴上求一点C，使得|AC|+|BC|=45，则C表示的数是多少？
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；表示
；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于
．
．
．
的值最小，最小值是 ．
，则
的最大值是 ．
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(0.4)
【推荐1】【问题提出】同学们在解决数学问题的时候，我们往往运用分类讨论来解决问题的多种情况，如此题．例如若有
，求
的值．在解决此题时，我们可以进行以下思考：
①当
时，此时可以解得 ．
②当
时，此时可以解得 ．
【知识迁移】 仿照上面的分析思路，解决下面两个问题
（1）如图，已知点A，B，C在数轴上对应的数分别为
，2，1，请在数轴上标出线段的中点D，并写出D的所代表的数；若数轴上存在点E，它到点C的距离恰好是线段的长，求线段
的长．
（2）如图，有公共端点P的两条线段
、
组成一条折线
，若该折线上一点Q把这条折线分成长度相等的两部分，我们把这个点Q叫做这条折线的“折中点”．已知点D是折线
的“折中点”，点E为线段
的中点，
，
，则线段
的长为 ．
，求的值．在解决此题时，我们可以进行以下思考：①当
时，此时可以解得 ．②当
时，此时可以解得 ． 【知识迁移】 仿照上面的分析思路，解决下面两个问题
（1）如图，已知点A，B，C在数轴上对应的数分别为
，2，1，请在数轴上标出线段的中点D，并写出D的所代表的数；若数轴上存在点E，它到点C的距离恰好是线段的长，求线段的长．（2）如图，有公共端点P的两条线段
、组成一条折线，若该折线上一点Q把这条折线分成长度相等的两部分，我们把这个点Q叫做这条折线的“折中点”．已知点D是折线的“折中点”，点E为线段的中点，，，则线段的长为 ．
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(0.4)
【推荐2】如图①，点C，D在线段上，点C在点D的左侧，若线段，
，
满足
，称C，D是线段的勾股点．的勾股点，分别以线段，，为边向的同侧作正
，正
，正
，已知正、正的面积分别是3，5，则正的面积是___________；
(2)如图①，
，C，D是线段的勾股点，当
时，求的长；
(3)如图③，C，D是线段的勾股点，以为直径画
，P在上，
，连接
，
，若
，求
的度数．
上，点C在点D的左侧，若线段，，满足，称C，D是线段的勾股点．
的勾股点，分别以线段，，为边向的同侧作正，正，正，已知正、正的面积分别是3，5，则正的面积是___________；(2)如图①，
，C，D是线段的勾股点，当时，求的长；(3)如图③，C，D是线段
的勾股点，以为直径画，P在上，，连接，，若，求的度数．
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为线段
．
为
为线段
，求线段
从
秒，当
时，求
